Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}a=0$, es sei ${}z\in U$ fixiert. Es sei ${}\delta >0$ hinreichend klein, wir setzen

${}r<s=\vert {z}\vert -\delta <\vert {z}\vert <\vert {z}\vert +\delta =S<R\,.$

Es sei ${}\alpha$ die einfache Umrundung von ${}z$ mit dem Abstand ${}\delta$, nach der Integralformel gilt

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\alpha }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,.$

Statt ${}\alpha$ betrachten wir den Weg ${}{\tilde {\alpha }}$, der sich aus je einem Kreisbogen auf den Kreisen um ${}0$ mit den Radien ${}s$ und ${}S$ und den an ${}B\left(z,\delta \right)$ tangentialen Strahlen zusammensetzt. Wegen Fakt, angewendet auf Viertelausschnitte von ${}\alpha$ bzw. ${}{\tilde {\alpha }}$, ist auch

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\alpha }}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,.$

Wir füllen den durch ${}s$ und ${}S$ gegebenen Kreisring durch (neben den durch ${}{\tilde {\alpha }}$ gegebenen) weitere sternförmige Kreisringsektoren auf, die zugehörigen Wegintegrale über ${}{\frac {f(w)}{w-z}}dw$ sind nach Fakt gleich ${}0$, da die Form dort holomorph ist. Wenn man diese Wegintegrale aufsummiert, so ergibt sich, da die Strahlen entgegengesetzt durchlaufen werden,

${}{\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\alpha }}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw+{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{-w+z}}dw,\end{aligned}}$

wobei ${}\gamma _{s},\gamma _{S}$ die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreiswege um ${}0$ mit den Radien ${}s$ und ${}S$ bezeichnen.

Auf die beiden Integrale wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe aus Fakt an (beachte, dass im linken Integral ${}\vert {\frac {z}{w}}\vert <1$ und im rechten Integral ${}\vert {\frac {w}{z}}\vert <1$ gilt). Das linke Integral wird zu

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma _{S}}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}\end{aligned}}$

und das rechte Integral wird unter Verwendung von

${}{\frac {f(w)}{z-w}}={\frac {f(w)}{z}}\cdot {\frac {z}{z-w}}={\frac {f(w)}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {w}{z}}}}={\frac {f(w)}{z}}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {w}{z}}\right)^{\ell }\right)}\,$

zu

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma _{s}}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{z-w}}dw&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {f(w)}{z}}\left({\frac {w}{z}}\right)^{\ell }dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma _{s}}f(w)\cdot {\frac {1}{w^{-\ell }}}dw\right)}z^{-1-\ell }\\&=\sum _{k=-1}^{-\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}$

Dies zeigt insgesamt die Gleichheit

${}f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}\,,$

wobei die Koeffizienten ${}c_{n}$ durch die angegebenen Integrale gegeben und insbesondere unabhängig von ${}z$ sind. In der Berechnung der Koeffizienten kann man dabei ${}\gamma _{s}$ und ${}\gamma _{S}$ nach Fakt untereinander und durch einen beliebigen Kreisweg um den Nullpunkt innerhalb des Kreisringes ersetzen.

Zur bewiesenen Aussage