Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/0 Fixpunkt/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gilt

${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {z}\vert \,.$

Da die Umkehrfunktion die gleichen Bedingungen erfüllt, gilt auch die umgekehrte Abschätzung und daher gilt

${}\vert {f(z)}\vert =\vert {z}\vert \,$

für alle ${}z$. Aufgrund des Zusatzes von Fakt liegt eine Drehung vor. Umgekehrt ist eine Drehung natürlich eine biholomorphe Abbildung.

Zur bewiesenen Aussage