Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass $K_{n}$ die $n$ -ten Einheitswurzeln enthält. Wenn $n$ ungerade und $ζ$ eine primitive $n$ -te Einheitswurzel ist, so ist $- ζ$ eine primitive $2 n$ -te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen $\supseteq$ klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthalten. Dazu können wir annehmen, dass $n$ gerade ist. Es sei $ξ$ eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung $m$ . Wir können annehmen, dass $m$ gerade und ein echtes Vielfaches von $n$ ist, da die von $ξ$ und einer primitiven $n$ -ten Einheitswurzel $ζ$ erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre Ordnung ein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus $μ_{m} \subseteq K_{n}$ folgt $K_{m} \subseteq K_{n}$ nach Fakt. Es ist $m = 2^{r} p_{1}^{r_{1}} \dots p_{k}^{r_{k}}$ und $n = 2^{s} p_{1}^{s_{1}} \dots p_{k}^{s_{k}}$ mit $r \geq s \geq 1$ und $r_{j} \geq s_{j} \geq 1$ . Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zu Fakt.

Zur bewiesenen Aussage