Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass

$\mathbb{Z}[\zeta ]\cong \mathbb{Z}[Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^2+Y+1)$

bereits normal ist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Lokalisierung von $\mathbb{Z}[\zeta ]$ an jedem Primideal $𝔮$ ein diskreter Bewertungsring ist. Es sei

$𝔮\cap \mathbb{Z}=(q)$

mit einer Primzahl $q$ und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob  $q=p$  ist oder nicht. Bei  $q=p$  zeigt Fakt, dass  $𝔮=(\zeta -1)$  ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei  $q\ne p$  lokalisieren wir die Situation an $(q)$. Da $X^p-1$ und seine Ableitung $p{X}^{p-1}$ teilerfremd in ${\mathbb{Z}}_{(q)}[X]$ sind, gilt dies nach Aufgabe auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in $\mathbb{Z}/(q)[X]$ einfach nach Aufgabe. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von $(q)$ nach Fakt diskrete Bewertungsringe.

Zur bewiesenen Aussage