Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

$S:=\mathbb{Z}[\zeta ]\cong \mathbb{Z}[Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^2+Y+1)\subseteq R_p\subseteq ℂ.$

Das $p$-te Kreisteilungspolynom zerfällt

$X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1=\prod _{k=1}^{p-1}(X-{\zeta }^k),$

über $ℂ$ und auch über $S$. Für  $X=1$  ergibt sich speziell die Gleichung

$p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-{\zeta }^k).$

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist

$\frac{1-{\zeta }^k}{1-\zeta }=1+\zeta +{\zeta }^2+\cdots +{\zeta }^{k-1}$

und dieses Element gehört zu $S$. Da $k$ zwischen $1$ und $p-1$ ist, gibt es jeweils ein $\ell$ mit  $k\cdot \ell =1modp$.  Wegen  ${\zeta }^p=1$  und

$\begin{array}{cc}\frac{1-\zeta }{1-{\zeta }^k}& =\frac{1-{\zeta }^{k\ell }}{1-{\zeta }^k}\\ & =\frac{1-{\left({\zeta }^k\right)}^{\ell }}{1-{\zeta }^k}\\ & =1+{\zeta }^k+{\left({\zeta }^k\right)}^2+\cdots +{\left({\zeta }^k\right)}^{\ell -1}\end{array}$

gehört dieses Element ebenfalls zu $S$, d.h. die Elemente $\frac{1-{\zeta }^k}{1-\zeta }$ sind Einheiten in $S$. Deshalb ist

$p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-{\zeta }^k)=\prod _{k=1}^{p-1}\frac{1-{\zeta }^k}{1-\zeta }(1-\zeta )=u\cdot {(1-\zeta )}^{p-1}$

mit einer Einheit $u$ aus $S$. Deshalb gilt in $S$ und damit auch im ganzen Abschluss $R_p$ die Idealgleichheit  $(p)=\left({(1-\zeta )}^{p-1}\right)$. 

Im ganzen Abschluss liegt nach Fakt eine Idealzerlegung

$(1-\zeta )={𝔭}_1\cdots {𝔭}_r$

vor und daher gilt dort

$(p)=\left({(1-\zeta )}^{p-1}\right)={𝔭}_1^{p-1}\cdots {𝔭}_r^{p-1}.$

Da der Grad der Erweiterung gleich $p-1$ ist, folgt direkt  $r=1$  und somit, dass $(1-\zeta )$ ein Primideal ist, und zwar das einzige über $(p)$.

Zur bewiesenen Aussage