Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

${}S:=\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\subseteq R_{p}\subseteq {\mathbb {C} }\,.$

Das ${}p$-te Kreisteilungspolynom zerfällt

${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=\prod _{k=1}^{p-1}(X-\zeta ^{k})\,,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und auch über ${}S$. Für ${}X=1$ ergibt sich speziell die Gleichung

${}p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})\,.$

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist

${}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{k-1}\,$

und dieses Element gehört zu ${}S$. Da ${}k$ zwischen ${}1$ und ${}p-1$ ist, gibt es jeweils ein ${}\ell$ mit ${}k\cdot \ell =1\mod p$. Wegen ${}\zeta ^{p}=1$ und

${}{\begin{aligned}{\frac {1-\zeta }{1-\zeta ^{k}}}&={\frac {1-\zeta ^{k\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&={\frac {1-(\zeta ^{k})^{\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&=1+\zeta ^{k}+(\zeta ^{k})^{2}+\cdots +(\zeta ^{k})^{\ell -1}\end{aligned}}$

gehört dieses Element ebenfalls zu ${}S$, d.h. die Elemente ${}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}$ sind Einheiten in ${}S$. Deshalb ist

${}p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})=\prod _{k=1}^{p-1}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}(1-\zeta )=u\cdot (1-\zeta )^{p-1}\,$

mit einer Einheit ${}u$ aus ${}S$. Deshalb gilt in ${}S$ und damit auch im ganzen Abschluss ${}R_{p}$ die Idealgleichheit ${}(p)=((1-\zeta )^{p-1})$.

Im ganzen Abschluss liegt nach Fakt eine Idealzerlegung

${}(1-\zeta )={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}\,$

vor und daher gilt dort

${}(p)=((1-\zeta )^{p-1})={\mathfrak {p}}_{1}^{p-1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}^{p-1}\,.$

Da der Grad der Erweiterung gleich ${}p-1$ ist, folgt direkt ${}r=1$ und somit, dass ${}(1-\zeta )$ ein Primideal ist, und zwar das einzige über ${}(p)$.

Zur bewiesenen Aussage