Beweis
Wir setzen
-
![{\displaystyle {}S:=\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\subseteq R_{p}\subseteq {\mathbb {C} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7faab2927584e9257b46381bad0708bd46a1736)
Das
-te Kreisteilungspolynom zerfällt
-

über
und auch über
. Für
ergibt sich speziell die Gleichung
-

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist
-

und dieses Element gehört zu
. Da
zwischen
und
ist, gibt es jeweils ein
mit
.
Wegen
und

gehört dieses Element ebenfalls zu
, d.h. die Elemente
sind Einheiten in
. Deshalb ist
-

mit einer Einheit
aus
. Deshalb gilt in
und damit auch im ganzen Abschluss
die Idealgleichheit
.
Im ganzen Abschluss liegt nach
Fakt
eine Idealzerlegung
-

vor und daher gilt dort
-

Da der Grad der Erweiterung gleich
ist, folgt direkt
und somit, dass
ein Primideal ist, und zwar das einzige über
.