Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt

Es sei ${}R_{n}=\mathbb {Z} [X]/(\Phi _{n})$ der ${}n$-te Kreisteilungsring. Dann sind für eine ungerade Primzahl ${}q$ folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}q$ ist ein Teiler von ${}n$.
2. Das Primideal ${}(q)$ verzweigt in ${}R_{n}$.
3. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$ ist über ${}\mathbb {Z} /(q)$ nicht separabel.
4. Das Polynom ${}X^{n}-1$ ist über ${}\mathbb {Z} /(q)$ nicht separabel.
5. Der Ring ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/(X^{n}-1)$ ist nicht reduziert.

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