Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt/Beweis

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Beweis

Von (1) nach (2). Wenn ein Teiler von ist, so ist eine -te Einheitswurzel auch eine -te Einheitswurzel. Die -ten Einheitswurzeln lassen sich also als eine Potenz einer primitiven -ten Einheitswurzel erhalten und deshalb gilt für die Kreisteilungskörper . Damit ist auch . Nach Fakt in Verbindung mit Fakt und Fakt verzweigt in und damit nach Aufgabe auch in .

Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar aufgrund von Fakt, Aufgabe und Fakt. Von (3) nach (4) ist klar wegen Aufgabe. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar.

Von (4) nach (1). Wenn kein Teiler von ist, so ist eine Einheit in und somit sind und teilerfremd über , was nach Aufgabe die Separabilität bedeutet.