Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}q$ kein Teiler von ${}n$ und damit eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Es gibt deshalb eine wohldefinierte Ordnung ${}f$, also die kleinste positive Zahl mit ${}q^{f}=1\mod n$. Dabei ist ${}f$ ein Teiler von ${}{\varphi (n)}$, der Ordnung der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$. Nach Fakt ist ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ der kleinste Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Z} /(q)$, der ${}n$ verschiedene Einheitswurzeln enthält.

Wegen Fakt und Fakt ist lediglich zu zeigen, dass ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ der Restekörper der Primideale oberhalb von ${}(q)$ ist. Betrachten wir also ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/(\Phi _{n})$. Da ${}{\mathbb {F} }_{q^{f}}$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel enthält, gibt es eine surjektive Abbildung

$\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{n}-1\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}}.$

Diese faktorisiert nach Fakt durch

$\mathbb {Z} /(q)[X]/(\Phi _{m})\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}},$

wobei ${}m$ ein Teiler von ${}n$ ist und dann gibt es auch eine Surjektion

$\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{m}-1\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q^{f}}.$

Wenn ${}m$ ein echter Teiler von ${}n$ wäre, so würde sich ein Widerspruch ergeben, da dann das Bild von ${}X$ eine Ordnung ${}<n$ hätte.

Zur bewiesenen Aussage