Kreisteilungsring/p/Kähler-Differentiale/Exakt/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl,

${}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

${}R_{p}$ der ${}p$-te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel)

${}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(X-1)^{p-2}dX\,.$

Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential

${}\omega ={\left(a_{p-3}X^{p-3}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}dX\,$

mit ${}0\leq a_{j}<p$ ein ${}f\in R_{p}$ mit ${}df=\omega$

gibt.

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