Kreisteilungsring/p/Kähler-Differentiale/Exakt/Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl,

$R=R_p=\mathbb{Z}[X]/(X^{p-1}+\cdots +X^2+X+1)$

der $p$-te Kreisteilungsring mit dem Modul der Kähler-Differentiale (vergleiche Beispiel)

${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}\cong \mathbb{Z}/(p)[X]/(X-1{)}^{p-2}dX.$

Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential

$\omega =(a_{p-3}{X}^{p-3}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0)dX$

mit  $0\le a_j<p$  ein  $f\in R$  mit  $df=\omega$  gibt.

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