Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und $R$ der $p$-te Kreisteilungsring, also

$R=\mathbb{Z}[X]/(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1)$

nach Fakt. Nach Fakt ist der Modul der Kähler-Differentiale gleich

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}& \cong R/((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-2}+\cdots +3X^2+2X+1)\\ \\ & \cong \mathbb{Z}[X]/(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1,(p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^2+2X+1).\end{array}$

Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da $X^p-1$ zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja

$X^p-1=(X-1)(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1)$

und somit

$\begin{array}{cc}p{X}^{p-1}dX& =d(X^p-1)\\ \\ & =d((X-1)(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1))\\ & =(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1)dX+(X-1)((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^2+2X+1)dX.\end{array}$

Damit ist insbesondere

$pdX=0$

in ${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}$, da ja $X$ eine Einheit ist. Somit ist (hier bezeichnet $R_p$ die Nenneraufnahme an $p$, nicht den $p$-ten Kreisteilungsring)

${\mathrm{\Omega }}_{R_p/{\mathbb{Z}}_p}=0,$

d.h. der Kählermodul ist eingeschränkt auf die offene Menge $D(p)$ der Nullmodul. Ferner ist der Kählermodul ein $R/pR$-Modul und insbesondere ein $\mathbb{Z}/(p)$-Modul. Daher und wegen Fakt ist

${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}={\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(p)={\mathrm{\Omega }}_{R/pR/\mathbb{Z}/(p)}.$

Da der Faserring über $p$ die Form

$R/pR=\mathbb{Z}/(p)[X]/((X-1{)}^{p-1})=\mathbb{Z}/(p)[Y]/\left(Y^{p-1}\right)$

besitzt, ist wegen  $\left(Y^{p-1}\right)=-Y^{p-2}$  insgesamt

${\mathrm{\Omega }}_{R/\mathbb{Z}}={\mathrm{\Omega }}_{\mathbb{Z}/(p)[Y]/\left(Y^{p-1}\right)/\mathbb{Z}/(p)}\cong \mathbb{Z}/(p)[Y]/\left(Y^{p-2}\right).$

Dies ist ein freier $\mathbb{Z}/(p)$-Modul mit der (in $X$ geschriebenen) Basis $dX,XdX,\dots ,X^{p-3}dX$ (also vom Rang $p-2$).