Kubische Erweiterung/X^3-3X+1/Nullstellen und Automorphismen/Beispiel

Nach Beispiel ist

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

eine Körpererweiterung vom Grad ${}3$ und dabei sind, wenn man die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ mit ${}\alpha$ bezeichnet, neben ${}\alpha$ auch ${}\beta =\alpha ^{2}-2$ und ${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2$ Nullstellen der definierenden Gleichung. Somit besitzen die Elemente ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ das Minimalpolynom ${}X^{3}-3X+1$. Durch

$\varphi \colon L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\longrightarrow L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)},\,X\longmapsto \beta ,$

wird ein nichtidentischer ${}\mathbb {Q}$-Algebraautomorphismus auf ${}L$ festgelegt. Dieser sendet ${}\alpha$ auf ${}\beta$, ${}\beta$ wegen

${}{\begin{aligned}\varphi (\beta )&=\varphi (\alpha ^{2}-2)\\&=\beta ^{2}-2\\&=(\alpha ^{2}-2)^{2}-2\\&=\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+4-2\\&=\alpha {\left(3\alpha -1\right)}-4\alpha ^{2}+2\\&=-\alpha ^{2}-\alpha +2\\&=\gamma \end{aligned}}$

auf ${}\gamma$ und ${}\gamma$ aufgrund einer ähnlichen Rechnung zurück auf ${}\alpha$. Die einzigen Automorphismen ${}\operatorname {Id} ,\varphi ,\varphi ^{2}$ entsprechen also den geraden Permutationen ${}\operatorname {Id} ,\alpha \mapsto \beta \mapsto \gamma \mapsto \alpha ,\alpha \mapsto \gamma \mapsto \beta \mapsto \alpha$ auf der Nullstellenmenge ${}\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$.