Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Permutationsgruppen/Textabschnitt

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Permutationsgruppen

Definition  

Zu einer Menge nennt man die Menge

der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu .

Eine bijektive Selbstabbildung nennt man auch eine Permutation. Für eine endliche Menge schreibt man . Eine endliche Permutation kann man beispielsweise mit einer (vollständigen) Wertetabelle oder mit einem Pfeildiagramm beschreiben.

Composicion de permutaciones.svg




Lemma  

Sei eine endliche Menge mit Elementen.

Dann besitzt die Permutationsgruppe genau Elemente.

Beweis  

Es sei . Für die gibt es mögliche Bilder, für gibt es noch mögliche Bilder, für gibt es noch mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt

mögliche Permutationen.




Lemma  

Sei eine Menge und eine Teilmenge.

Dann gibt es eine natürliche injektive Abbildung

wobei auf gleich und auf die Identität ist.

Mittels dieser Abbildung ist eine Untergruppe von .

Beweis  

Offenbar ist die Abbildung wohldefiniert. Sie ist injektiv, da aus sofort folgt, dass ist. Die Abbildung liefert eine Bijektion zwischen und der Menge der Permutationen auf , die fest lassen. Diese Permutationen bilden eine Untergruppe.



Zykeldarstellung für Permutationen

Sei eine endliche Menge, eine Permutation und . Dann kann man die Folge

betrachten. Da endlich ist, gibt es eine Wiederholung mit . Durch Multiplikation mit sieht man, dass es ein minimales gibt mit , und dass alle für , , verschieden sind. Ist , so durchläuft auch dieselbe Teilmenge aus .


Definition  

Sei eine endliche Menge und eine Permutation auf . Man nennt einen Zykel der Ordnung , wenn es eine -elementige Teilmenge derart gibt, dass auf die Identität ist und die Elemente aus zyklisch vertauscht. Wenn ist, so schreibt man einfach

Dabei kann man statt jedes andere Element aus als Anfangsglied nehmen. Die Menge heißt auch der Wirkungsbereich des Zykels, und die (geordnete) Auflistung heißt die Wirkungsfolge des Zykels.


Definition  

Eine Transposition auf einer endlichen Menge ist eine Permutation auf , die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.

Eine Transposition ist also ein besonders einfacher Zykel mit der Zyklendarstellung , wenn die Transposition die Punkte und vertauscht.



Lemma  

Jede Permutation auf einer endlichen Menge

kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge . Für ist nichts zu zeigen, sei also . Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Sei also nicht die Identität, und sei Es sei die Transposition, die und vertauscht. Dann ist ein Fixpunkt von , und man kann auffassen als eine Permutation auf . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen auf mit auf . Dies gilt dann auch auf , und daher ist .




Satz  

Sei eine endliche Menge und eine Permutation auf .

Dann gibt es eine Darstellung

wobei die Zykel der Ordnung sind mit disjunkten Wirkungsbereichen.

Dabei ist die Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig.

Beweis  

Es sei die Fixpunktmenge von und es seien diejenigen Teilmengen von mit mindestens zwei Elementen derart, dass die Elemente aus jedem zyklisch vertauscht. Dann ist die disjunkte Vereinigung aus und den . Zu , , sei der Zykel auf , der auf die Identität ist und auf mit übereinstimmt. Wir behaupten

Um dies einzusehen, sei beliebig. Bei ist ein Fixpunkt für alle und daher kommt links und rechts wieder raus. Sei also kein Fixpunkt der Permutation. Dann gehört für genau ein . Für alle ist ein Fixpunkt von . Da ebenfalls zu gehört, ist auch ein Fixpunkt von für alle . Wendet man daher die rechte Seite auf an, so wird auf abgebildet bis man zu kommt. Dieses bildet auf ab und die folgenden bilden auf ab, so dass die rechte Seite insgesamt auf schickt und daher mit übereinstimmt.


Aufgrund von diesem Satz können wir allgemein eine Zyklendarstellung für eine beliebige Permutation definieren.


Definition  

Sei eine endliche Menge und eine Permutation auf . Es seien die Wirkungsbereiche der Zyklen von mit . Es sei und . Dann nennt man

die Zyklendarstellung von .



Das Signum einer Permutation

Definition  

Sei und sei eine Permutation auf . Dann heißt die Zahl

das Signum (oder das Vorzeichen) der Permutation .

Das Signum ist oder , da im Zähler und im Nenner die positive oder die negative Differenz steht. Es gibt für das Signum also nur zwei mögliche Werte. Bei spricht man von einer geraden Permutation und bei von einer ungeraden Permutation.


Definition  

Sei und sei eine Permutation auf . Dann heißt ein Indexpaar

ein Fehlstand, wenn ist.



Lemma  

Sei und sei eine Permutation auf . Es sei die Anzahl der Fehlstände von .

Dann ist das Signum von gleich

Beweis  

Wir schreiben

da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.



Beispiel  

Wir betrachten die Permutation

mit der Zyklendarstellung

Die Fehlstände sind

es gibt also Stück davon. Das Signum ist also und die Permutation ist ungerade.




Satz  

Die durch das Signum gegebene Zuordnung

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Seien zwei Permutationen und gegeben. Dann ist




Lemma  

Sei und sei eine Permutation auf . Es sei

als ein Produkt von Transpositionen geschrieben.

Dann gilt für das Signum die Darstellung

Beweis  

Die Transposition vertausche die beiden Zahlen . Dann ist

Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass im ersten und im zweiten Produkt alle Zähler und Nenner positiv sind und dass im dritten und im vierten Produkt die Zähler negativ und die Nenner positiv sind, so dass sich diese (wegen der gleichen Indexmenge) Minuszeichen wegkürzen.

Die Aussage folgt dann aus der Homomorphieeigenschaft.



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