Kubische Gleichung/X^3+5X+2/An (2)/Beispiel

Es sei

${}R=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X+2)\,,$

in ${}R$ liegt die Faktorzerlegung ${}2=-x(x^{2}+5)$ vor. Modulo ${}(2)$ ist

${}x^{3}+x=x(x^{2}+1)=x(x+1)^{2}\,.$

Da der zweite Faktor doppelt vorkommt, kann man Fakt nicht anwenden, und es wird sich auch gleich ergeben, dass ${}R$ in der Tat nicht normal ist. Das Element ${}x$ ist ein Primelement in ${}R$, da der Restklassenring modulo ${}x$ gleich

${}\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X-2,X)=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(2,X)=\mathbb {Z} _{(2)}/(2)=\mathbb {Z} /(2)\,$

ist. Dagegen ist ${}x^{2}+5$ kein Primelement, da

${}\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(X^{3}+5X+2,X^{2}+5)=\mathbb {Z} _{(2)}[X]/(2,X^{2}+5)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+1)\,$

nicht reduziert ist. In ${}R$ wird das durch die Eigenschaft

${}{\begin{aligned}(x+1)(x+1)&=(x^{2}+5)+2(x-2)\\&=(x^{2}+5)-(x^{3}+5x)(x-2)\\&=(x^{2}+5)(1-x(x-2))\\&=(x^{2}+5)(-x^{2}+2x+1).\end{aligned}}$

widergespiegelt. Das Element ${}x+1$ ist kein Primelement in ${}R$, sein Restklassenring ist ${}\mathbb {Z} /(4)$. Jedenfalls haben wir in ${}R$ die beiden Primideale ${}{\mathfrak {p}}=(x)$ und ${}{\mathfrak {q}}=(2,x+1)$, wobei ${}R_{\mathfrak {p}}$ normal ist und ${}R_{\mathfrak {q}}$ nicht. was darauf beruht, dass weder ${}2$ noch ${}x+1$ ein Erzeuger ist. Wir wollen die Normalisierung bestimmen.

Die definierende Gleichung kann man auch als

${}(x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+8(x+1)-4=0\,$

schreiben. Somit ist

${}{\begin{aligned}\left({\frac {2}{x+1}}\right)^{2}&={\frac {4}{(x+1)^{2}}}\\&={\frac {(x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+8(x+1)}{(x+1)^{2}}}\\&=(x+1)-3+{\frac {8}{(x+1)}}\\&=(x+1)-3+4{\frac {2}{(x+1)}},\end{aligned}}$

d.h.

${}y={\frac {2}{x+1}}\,$

erfüllt die Ganzheitsgleichung

${}y^{2}-4y+x-2=0\,.$

Nach Hinzunahme von diesem ganzen Element wird ${}(2,x+1)$ zu einem Hauptideal, erzeugt von ${}x+1$. Da einerseits

${}x={\frac {2}{y}}-1\,$

und andererseits

${}x=-y^{2}+4y+2\,$

gilt, erfüllt ${}y$ die Gleichung

${}y^{3}-4y^{2}-3y+2=0\,.$

Somit gilt

${}R\subseteq \mathbb {Z} _{(2)}[Y]/(Y^{3}-4Y^{2}-3Y+2)=S\,.$

Dabei gilt die Faktorzerlegung

${}-2=y(y^{2}-4y-3)\,,$

vor, der Restklassenring ${}S/(2)$ hat wieder die Darstellung ${}\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y(Y-1)^{2})$. Das zum zweiten Primfaktor zugehörige Ideal ${}(2,y-1)$ wird wieder nicht von einem Element erzeugt.