Kubische Kurve/Y^2 ist X^3+X^2l/Normalisierung/Gruppenisomorphismus/Aufgabe

Wir betrachten die ebene projektive Kurve

${}C=V_{+}(Y^{2}Z-X^{2}Z-X^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{}^{2}\,$

über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass ${}P=(0,0,1)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass man auf ${}C\setminus \{P\}$ wie im elliptischen Fall (mit ${}{\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutralem Element) eine Gruppenverknüpfung definieren kann.
3. Zeige, dass die Normalisierungsabbildung

   ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v+2uv^{2},u^{3}+3u^{2}v+2uv^{2},v^{3}),$

   die beiden Punkte ${}(0,1)$ und ${}(-2,1)$ auf ${}P$ abbildet und ansonsten bijektiv ist (vergleiche Beispiel).

4. Zeige unter Verwendung von Aufgabe, dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf

   ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\cong D_{+}(u(u+2v))={\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus \{(0,1),(-2,1)\}\,$

   einen Gruppenisomorphismus zwischen ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{1\}$ und ${}C\setminus \{P\}$ definiert, wobei die punktierte Gerade mit der Multiplikation versehen ist.

Eine Lösung erstellen