Kubische Kurve/Z mod 2/Keine Punkte/Nicht glatt/Aufgabe/Lösung

1. Die Kurve ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei ${}(x,y,z)\in {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$ ein repräsentierendes Tupel für einen Punkt der Kurve. Bei ${}x=y=0$ ist ${}z^{3}=0$ und damit ${}z=0$, das ist kein Punkt der Kurve. Bei ${}x=0$ und ${}y=z=1$ verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist ${}1$, der Punkt gehört nicht zur Kurve. Bei ${}x=y=z$ gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder ${}1$ und der Punkt gehört nicht zur Kurve.
2. Wie arbeiten affin und setzen

   ${}Z=1\,,$

   die affine Kurvengleichung ist somit

   ${}X^{3}+Y^{3}+1+XY^{2}+Y+X^{2}+XY=0\,.$

   Die partiellen Ableitungen sind

   $X^{2}+Y^{2}+Y$

   und

   $Y^{2}+1+X.$

   Wir müssen untersuchen, ob es Punkte im algebraischen Abschluss gibt, wo die Gleichung und die beiden Ableitungen gleich ${}0$ sind. In einem solchen Punkt ${}(x,y)$ kann man ${}x=y^{2}+1$ auflösen und erhält aus der ersten Ableitung die Bedingung

   ${}x^{2}+y^{2}+y=(y^{2}+1)^{2}+y^{2}+y=y^{4}+y^{2}+y+1=(y+1)(y^{3}+y^{2}+1)=0\,$

   und aus der Kurvengleichng die Bedingung

   ${}{\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+1+xy^{2}+y+x^{2}+xy&=(y^{2}+1)^{3}+y^{3}+1+(y^{2}+1)y^{2}+y+y^{4}+1+(y^{2}+1)y\\&=y^{6}+y^{4}+y^{2}+1+y^{3}+1+y^{4}+y^{2}+y+y^{4}+1+y^{3}+y\\&=y^{6}+y^{4}+1\\&=(y^{3}+y^{2}+1)^{2}\\&=0.\end{aligned}}$

   Wenn also die ${}y$-Koordinate des Punktes

   ${}y^{3}+y^{2}+1=0\,$

   erfüllt, so liegt mit

   ${}x=y^{2}+1\,$

   ein Punkt vor, wo die Kurvengleichung und die beiden Ableitungen verschwinden. Die Kure ist also nicht glatt.

3. Das kubische Polynom ${}Y^{3}+Y^{2}+1$ ist irreduzibel über ${}\mathbb {Z} /(2)$, da es keine Nullstelle besitzt. Somit ist

   ${}\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{3}+Y^{2}+1)={\mathbb {F} }_{2^{3}}\,$

   eine Körpererweiterung, in der die Restklasse von ${}Y$ die Gleichung

   ${}y^{3}+y^{2}+1=0\,$

   erfüllt. Der Punkt ${}(y,y^{2}+1,1)$ ist also ein über ${}{\mathbb {F} }_{8}$ definierter singulärer Punkt.

Zur gelösten Aufgabe