Kubische Kurve/Z mod 2/Keine Punkte/Nicht glatt/Aufgabe

Wir betrachten die kubische projektive Kurve

${}V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+YZ^{2}+ZX^{2}+XYZ)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(2)}^{2}\,$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(2)$.

1. Zeige, dass die Kurve keine ${}\mathbb {Z} /(2)$-Punkte besitzt.
2. Zeige, dass die Kurve nicht glatt ist.
3. Bestimme einen Erweiterungskörper

   ${}\mathbb {Z} /(2)\subseteq {\mathbb {F} }_{2^{k}}\,,$

   über dem die Kurve einen singulären Punkt besitzt.

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