Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe
Sei .
![{\displaystyle {}F=X^{3}+2X-1\in \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc2fe54927f2db347349ee60f107d7cb39c4c91)
- Zeige, dass und in das Einheitsideal erzeugen. Man gebe explizit eine Darstellung der an.
- Zeige, dass das von und erzeugte Ideal in eine minimale positive ganze Zahl enthält.
- Bestimme, für welche Primzahlen der Faserring reduziert ist.
- Bestimme für diejenigen Primzahlen , für die der Faserring nicht reduziert ist, die Primfaktorzerlegung von in .
- Ist ein Zahlbereich?
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192c251bd578fa7224f44f5d4539c9813b31aa46)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8489b7817f8415920d9e49a6e1d6e9e292321b)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa91a5bfd911769c2c190f03a767d15f5f376af4)
![{\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db9e67c0b6ed001661f8d0d2c92754429539a29)