- Es ist
-
![{\displaystyle {}F'=3X^{2}+2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e6957cf82cffe20ddbe70061250238da185125)
Wir führen den euklidischen Algorithmus für Polynome in
durch. Es ist
-
![{\displaystyle {}X^{3}+2X-1={\left(3X^{2}+2\right)}{\frac {1}{3}}X+{\frac {4}{3}}X-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3e461d369b78d758799de0e0f80c1c95e3049d)
und
-
![{\displaystyle {}3X^{2}+2={\left({\frac {4}{3}}X-1\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}+{\frac {59}{16}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4357dccf25eb4a5931c41da4c865c032237150)
Damit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {59}{16}}&={\left(3X^{2}+2\right)}-{\left({\frac {4}{3}}X-1\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\\&={\left(3X^{2}+2\right)}-{\left(X^{3}+2X-1-{\left(3X^{2}+2\right)}{\frac {1}{3}}X\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\\&={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {9}{4}}X-{\frac {27}{16}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left(1+{\frac {1}{3}}X{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\right)}\\&={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {9}{4}}X-{\frac {27}{16}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left({\frac {3}{4}}X^{2}+{\frac {9}{16}}X+1\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b697bb07524f6d87948775f8fb623f45981c94a)
Damit ist
-
![{\displaystyle {}1={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {36}{59}}X-{\frac {27}{59}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left({\frac {12}{59}}X^{2}+{\frac {9}{59}}X+{\frac {16}{59}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3509ccf6b97b425d7dd6065018b9a42a90c0e87)
- In
gilt
-
![{\displaystyle {}59={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-36X-27\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left(12X^{2}+9X+16\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900e4b4df2d78680f01b9b19ca0f8041e51befac)
- Wir verwenden, dass
genau dann nicht reduziert ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von
in
ein Faktor mehrfach vorkommt, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn
und
einen gemeinsamen Faktor besitzen. Dies ist für
nicht der Fall, was direkt aus der Darstellung der
folgt, die ja modulo
eine Einheit wird. Den Fall
erledigen wir im nächsten Teil.
- Wir arbeiten in
. Es ist
eine Nullstelle der Ableitung
, wegen
-
![{\displaystyle {}3\cdot 14^{2}+2=3\cdot 196+2=590=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884bc070dc20aee723ff45ba80ce0ea56181d212)
Dies ergibt die Faktorzerlegung der Ableitung
-
![{\displaystyle {}3X^{2}+2=3(X-14)(X-45)=3(X+45)(X+14)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e16ed1d2ab98fec6027863a96065215663736e)
und insbesondere die andere Nullstelle
-
![{\displaystyle {}-14=45\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db6337b6053932a1498067188e13048aedc318c)
Wegen
-
![{\displaystyle {}(-14)^{3}+2\cdot (-14)-1=-14\cdot 196-29=-14\cdot 19-29=-266-29=295=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b4656ed8a604d58015b39f9b3f619289d3bd7e)
ist
auch eine Nullstelle von
und damit eine doppelte Nullstelle von
. Die Faktorzerlegung ist
-
![{\displaystyle {}X^{3}+2X-1=(X+14)(X+14)(X+31)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84f7dc59e5aed41e2e236522b605f7947ddb183)
- Das Polynom
ist irreduzibel in
, da dies beispielsweise modulo
gilt. Nach
Fakt
ist die Normalisierung von
an den Primidealen oberhalb von allen Primzahlen
normal. Wir betrachten also die Situation über der Lokalisierung
. Das Primideal
ist an seiner Lokalisierung ein Hauptideal, da es in der Primfaktorzerlegung von
einfach vorkommt
(vergleiche den Beweis zu
Fakt).
Wegen
-
![{\displaystyle {}F(-14)=-2773=-59\cdot 47\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184da8e11427a57b7a7a08964417e74e62041c62)
gehört
zu
in
. Dies bedeutet, dass das Primideal
in
ein Hauptideal ist und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Also ist
normal und ein Zahlbereich.