Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist

    Wir führen den euklidischen Algorithmus für Polynome in durch. Es ist

    und

    Damit ist

    Damit ist

  2. In gilt
  3. Wir verwenden, dass genau dann nicht reduziert ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von in ein Faktor mehrfach vorkommt, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn und einen gemeinsamen Faktor besitzen. Dies ist für nicht der Fall, was direkt aus der Darstellung der folgt, die ja modulo eine Einheit wird. Den Fall erledigen wir im nächsten Teil.
  4. Wir arbeiten in . Es ist eine Nullstelle der Ableitung , wegen

    Dies ergibt die Faktorzerlegung der Ableitung

    und insbesondere die andere Nullstelle

    Wegen

    ist auch eine Nullstelle von und damit eine doppelte Nullstelle von . Die Faktorzerlegung ist

  5. Das Polynom ist irreduzibel in , da dies beispielsweise modulo gilt. Nach Fakt ist die Normalisierung von an den Primidealen oberhalb von allen Primzahlen normal. Wir betrachten also die Situation über der Lokalisierung . Das Primideal ist an seiner Lokalisierung ein Hauptideal, da es in der Primfaktorzerlegung von einfach vorkommt (vergleiche den Beweis zu Fakt). Wegen

    gehört zu in . Dies bedeutet, dass das Primideal in ein Hauptideal ist und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Also ist normal und ein Zahlbereich.