Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}F'=3X^{2}+2\,.$

   Wir führen den euklidischen Algorithmus für Polynome in ${}\mathbb {Q} [X]$ durch. Es ist

   ${}X^{3}+2X-1={\left(3X^{2}+2\right)}{\frac {1}{3}}X+{\frac {4}{3}}X-1\,$

   und

   ${}3X^{2}+2={\left({\frac {4}{3}}X-1\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}+{\frac {59}{16}}\,.$

   Damit ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {59}{16}}&={\left(3X^{2}+2\right)}-{\left({\frac {4}{3}}X-1\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\\&={\left(3X^{2}+2\right)}-{\left(X^{3}+2X-1-{\left(3X^{2}+2\right)}{\frac {1}{3}}X\right)}{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\\&={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {9}{4}}X-{\frac {27}{16}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left(1+{\frac {1}{3}}X{\left({\frac {9}{4}}X+{\frac {27}{16}}\right)}\right)}\\&={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {9}{4}}X-{\frac {27}{16}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left({\frac {3}{4}}X^{2}+{\frac {9}{16}}X+1\right)}.\end{aligned}}$

   Damit ist

   ${}1={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-{\frac {36}{59}}X-{\frac {27}{59}}\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left({\frac {12}{59}}X^{2}+{\frac {9}{59}}X+{\frac {16}{59}}\right)}\,.$

2. In ${}\mathbb {Z} [X]$ gilt

   ${}59={\left(X^{3}+2X-1\right)}{\left(-36X-27\right)}+{\left(3X^{2}+2\right)}{\left(12X^{2}+9X+16\right)}\,.$

3. Wir verwenden, dass ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$ genau dann nicht reduziert ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${}F$ in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ ein Faktor mehrfach vorkommt, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn ${}F$ und ${}F'$ einen gemeinsamen Faktor besitzen. Dies ist für ${}p\neq 59$ nicht der Fall, was direkt aus der Darstellung der ${}59$ folgt, die ja modulo ${}p$ eine Einheit wird. Den Fall ${}p=59$ erledigen wir im nächsten Teil.
4. Wir arbeiten in ${}\mathbb {Z} /(59)[X]$. Es ist ${}14$ eine Nullstelle der Ableitung ${}3X^{2}+2$, wegen

   ${}3\cdot 14^{2}+2=3\cdot 196+2=590=0\,.$

   Dies ergibt die Faktorzerlegung der Ableitung

   ${}3X^{2}+2=3(X-14)(X-45)=3(X+45)(X+14)\,$

   und insbesondere die andere Nullstelle

   ${}-14=45\,.$

   Wegen

   ${}(-14)^{3}+2\cdot (-14)-1=-14\cdot 196-29=-14\cdot 19-29=-266-29=295=0\,$

   ist ${}-14$ auch eine Nullstelle von ${}F$ und damit eine doppelte Nullstelle von ${}F$. Die Faktorzerlegung ist

   ${}X^{3}+2X-1=(X+14)(X+14)(X+31)\,.$

5. Das Polynom ${}X^{3}+2X-1$ ist irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [X]$, da dies beispielsweise modulo ${}3$ gilt. Nach Fakt ist die Normalisierung von ${}R$ an den Primidealen oberhalb von allen Primzahlen ${}p\neq 59$ normal. Wir betrachten also die Situation über der Lokalisierung ${}\mathbb {Z} _{(59)}$. Das Primideal ${}(59,X+31)$ ist an seiner Lokalisierung ein Hauptideal, da es in der Primfaktorzerlegung von ${}F$ einfach vorkommt (vergleiche den Beweis zu Fakt). Wegen

   ${}F(-14)=-2773=-59\cdot 47\,$

   gehört ${}59$ zu ${}(F,X+14)$ in ${}\mathbb {Z} _{(59)}[X]$. Dies bedeutet, dass das Primideal ${}(X+14,59)=(X+14)$ in ${}\mathbb {Z} _{(59)}[X]/(F)$ ein Hauptideal ist und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Also ist ${}R$ normal und ein Zahlbereich.

Zur gelösten Aufgabe