Nach
Fakt (1)
ist die Diskriminante des Zahlbereiches
gleich
-
![{\displaystyle {}\triangle =-27\cdot 2^{2}=-3^{3}\cdot 2^{2}=-108\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b464fb0e1200e1d81083b838e2331c943fdd6879)
Die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis
ist nach
Aufgabe
gleich
-
Ihre Determinante ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(-{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\right)}-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}{\left(-{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{2}}\right)}-{\left({\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\left(-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\right)}-{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}\right)}\\&={\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}}{4}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{3}]{4}}}{2}}\\&={\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}}{4}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{8}}}{2}}\\&={\sqrt {3}}+2{\sqrt {3}}\\&=3{\sqrt {3}},\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac351d203f68405eeb06d8bc2ad9f2a479814e3)
und diese Zahl ist das Volumen der Grundmasche
des Gitters. Es besteht also in der Tat wegen
der in
Fakt
beschriebene Zusammenhang
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4\cdot 27}}={\sqrt {27}}=3{\sqrt {3}}=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d373f8f46467bc4327e216369dbd76f7c688f2)