Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide ${}1$, und sei ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})=L$ die zugehörige kubische Körpererweiterung mit dem Ganzheitsring ${}R$. Dann gilt für die Diskriminante von ${}R$ folgende Beschreibung.

1. Bei ${}a\neq \pm b\mod 9$ ist die Diskriminante von ${}R$ gleich ${}-27a^{2}b^{2}$.
2. Bei ${}a=\pm b\mod 9$ ist die Diskriminante von ${}R$ gleich ${}-3a^{2}b^{2}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen