Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ${}{\mathfrak {M}}$ eine Grundmasche des Gitters ${}\Gamma _{R}$ unter der reellen Gesamteinbettung

$\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}.$

Dann ist das Volumen der Grundmasche bezüglich der euklidischen Standardmetrik des ${}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$ gleich

${}{\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})&={\frac {1}{2^{s}}}{\sqrt {\vert {\triangle _{R}}\vert }}\\\end{aligned}}$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen