Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir betrachten die Abbildung

deren Bild auf der Einheitssphäre landet. Geographisch gesprochen gibt den Breitenkreis und den Längenkreis des entsprechenden Punktes auf der Einheitserde an (in geozentrischen Koordinaten; die in der Geographie verwendeten Koordinaten weichen davon leicht ab, da die Erde nicht wirklich eine Kugel ist). Diese Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen

Die Einschränkung dieser Abbildung auf das offene Rechteck

ist injektiv, ihr Bild ist die Einheitskugel bis auf einen einzigen Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Fakt verwendeten Notation ist

und

Daher ist

Somit ist die Kugeloberfläche nach dem Satz von Fubini gleich