Kurs:Algebraische Kurven/13/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 7 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 10 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 56 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {affine Raum} {.}
}{Eine
\stichwort {rationale Parametrisierung} {}
einer affin-algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {Morphismus} {} \maabb {{\psi}} {Y} {X } {} zwischen quasiaffinen Varietäten.
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Der
\stichwort {Singularitätsgrad} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das
\stichwort {Nullstellengebilde} {}
zu einem homogenen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_0 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den affinen Raum über $K$ der Dimension $n$.
}{Zwei rationale Funktionen
\mathl{\varphi_1=\frac{P_1}{Q_1}}{} und
\mathl{\varphi_2=\frac{P_2}{Q_2}}{} mit
\mathbed {P_1, P_2,Q_1,Q_2 \in K[T]} {}
{Q_1,Q_2 \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve
\mathl{V(F)}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(\varphi_1(T), \varphi_2(T))
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und
\mathl{(\varphi_1,\varphi_2)}{} nicht konstant ist.
}{Eine stetige Abbildung
\maabbdisp {{\psi}} {Y} {X
} {}
heißt \stichwort {Morphismus} {,} wenn für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
\mathl{f \in \Gamma (U, {\mathcal O} )}{} gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
\mathdisp {f \circ {\psi} : {\psi}^{-1}(U) \longrightarrow U \stackrel{f}{\longrightarrow} {\mathbb A}^{1}_{K}} { }
zu
\mathl{\Gamma ({\psi}^{-1}(U), {\mathcal O} )}{} gehört.
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
besitzt.
}{Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen
\mathl{\N \setminus M}{,} den Singularitätsgrad von $M$.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ V_+( {\mathfrak a})
}
{ =} { { \left\{ P = (x_0 , \ldots ,x_n) \in {\mathbb P}^{n}_{K} \mid F(P)=0 \text{ für } \text{alle homogenen } F \in {\mathfrak a} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das projektive Nullstellengebilde zu ${\mathfrak a}$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.}{Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.}{Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und seien
\mathl{P,Q \in K[T]}{} zwei Polynome.
Dann gibt es ein Polynom
\mathbed {F \in K[X,Y]} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mathl{F(Q,P)=0}{.} D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve
\mathl{C=V(F)}{.}}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien
\mathbed {F_i \in K[X_1 , \ldots , X_n]} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
Polynome mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} D(F_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann erzeugen die $F_i$ das Einheitsideal in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei
\mathbed {F = F_m + \cdots + F_d \in K[X,Y]} {}
{m \leq d} {}
{} {} {} {,} ein Polynom in homogener Zerlegung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ V(aX+bY)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Gerade durch den Nullpunkt $P$, die keine Komponente von
\mathl{V(F)}{} sei. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{mult} _{ {P} } ( L, V(F) )
}
{ \geq} { m_{P } \, (F)
}
{ =} { m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} kein Primideal. Bei
\mathl{\operatorname{Id} \, (V) =K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist
\mathl{V= \emptyset}{,} also ist $V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome
\mathl{F,G \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mathl{FG \in \operatorname{Id} \, (V)}{,} aber
\mathl{F,G \not \in \operatorname{Id}\,(V)}{.} Dies bedeutet, dass es Punkte
\mathl{P,Q \in V}{} mit
\mathl{F(P) \neq 0}{} und
\mathl{G(Q) \neq 0}{} gibt. Wir betrachten die beiden Ideale
\mathl{{\mathfrak a}_1 =\operatorname{Id}\, (V)+(F)}{} und
\mathl{{\mathfrak a}_2 =\operatorname{Id} \, (V)+(G)}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a}_1), V( {\mathfrak a}_2)
}
{ \subseteq} { V(\operatorname{Id}\, (V) )
}
{ =} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 3.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) (3).
Wegen
\mathkor {} {P \not\in V({\mathfrak a}_1)} {und} {Q \not\in V({\mathfrak a}_2)} {}
sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a}_1) \cup V({\mathfrak a}_2)
}
{ =} { V({\mathfrak a}_1 \cdot {\mathfrak a}_2)
}
{ =} { V( \operatorname{Id} \,(V) )
}
{ =} { V
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass eine nicht-triviale Zerlegung von $V$ vorliegt und somit $V$ nicht irreduzibel ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $V$ nicht irreduzibel. Bei
\mathl{V = \emptyset}{} ist
\mathl{\operatorname{Id}\, (V)=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} kein Primideal. Es sei also
\mathl{V \neq \emptyset}{} mit der nicht-trivialen Zerlegung
\mathl{V=Y \cup Z}{.} Es sei
\mathl{Y=V({\mathfrak a}_1)}{} und
\mathl{Z=V({\mathfrak a}_2)}{.} Wegen
\mathl{Y \subset V}{} gibt es einen Punkt
\mathbed {P \in V=V(\operatorname{Id}\, (V))} {}
{P \not\in V( {\mathfrak a}_1 )} {}
{} {} {} {.}
Also gibt es auch ein
\mathl{F \in {\mathfrak a}_1}{,}
\mathl{F(P) \neq 0}{,} und somit
\mathl{F \not \in \operatorname{Id} \, (V)}{.} Ebenso gibt es
\mathl{G \in {\mathfrak a}_2}{,}
\mathl{G \not\in \operatorname{Id} \, (V)}{.} Für einen beliebigen Punkt
\mathl{Q \in V=Y \cup Z}{} ist
\mathl{(FG)(Q)=0}{,} da $F$ auf $Y$ und $G$ auf $Z$ verschwindet. Also ist
\mathl{FG \in \operatorname{Id} \, (V)}{} und daher ist
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} kein Primideal.}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Wir betrachten die reelle algebraische Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V { \left( Y^4-Y^2+X^2 \right) }
}
{ \subset} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} { [0,2 \pi [ } {C
} { \theta} { \left( \sin \theta \cos \theta , \, \sin \theta \right)
} {,}
eine Parametrisierung von $C$ gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.
}
{
Für einen beliebigen Winkel $\theta$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin^{ 4 } \theta -\sin^{ 2 } \theta + \sin^{ 2 } \theta \cos^{ 2 } \theta
}
{ =} { \sin^{ 2 } \theta { \left( \sin^{ 2 } \theta + \cos^{ 2 } \theta -1 \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das Bild der Abbildung gehört also zur Kurve. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in} {C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Punkt der Kurve. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^4 +x^2
}
{ =} {y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wir haben die beiden Urbilder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta
}
{ = }{ 0, \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
dividieren wir durch $y^2$ und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 + { \left( { \frac{ x }{ y } } \right) }^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es liegt die Kreisgleichung vor, daher gibt es ein eindeutig bestimmtes $\theta$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \sin \theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ y } }
}
{ =} { \cos \theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \sin \theta \cos \theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{weiter}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K^n} {K^n
} { \left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right) } { \left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)
} {,}
die einem Nullstellentupel
\mathl{\left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right)}{} das Koeffiziententupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{}
\zusatzklammer {ohne die $1$} {} {}
des
\definitionsverweis {normierten Polynoms}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X- \lambda_1) (X- \lambda_2) \cdots (X- \lambda_n)
}
{ =} { P
}
{ =} { c_0 +c_1X + \cdots + c_{n-1}X^{n-1} +X^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zuordnet.
\aufzaehlungsieben{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Begründe, dass die $\varphi$
\definitionsverweis {polynomiale Abbildungen}{}{}
sind.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
von $\varphi$ endlich sind.
}{Wann ist die Faser zu einem Tupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} leer?
}{Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreicht wird.
}{Es sei $K$ nun
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
}
}
{
\aufzaehlungsieben{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
handelt es sich wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( X - \lambda_1 \right) } { \left( X - \lambda_2 \right) }
}
{ =} { X^2 - { \left( \lambda_1+\lambda_2 \right) } X + \lambda_1\lambda_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
um die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K^2} { K^2
} { \left( \lambda_1 , \, \lambda_2 \right) } { \left( \lambda_1\lambda_2 , \, - { \left( \lambda_1+ \lambda_2 \right) } \right)
} {.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
handelt es sich wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( X - \lambda_1 \right) } { \left( X - \lambda_2 \right) } { \left( X - \lambda_3 \right) }
}
{ =} { X^3 - { \left( \lambda_1+\lambda_2 + \lambda_3 \right) } X^2 + { \left( \lambda_1\lambda_2 +\lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3 \right) } X- \lambda_1\lambda_2\lambda_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
um die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K^3} { K^3
} { \left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \lambda_3 \right) } { \left( - \lambda_1\lambda_2\lambda_3 , \, \lambda_1\lambda_2 +\lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3 , \, - { \left( \lambda_1+ \lambda_2 + \lambda_3 \right) } \right)
} {.}
}{Es sei $n \in \N_+$ und $k$ zwischen $0$ und $n-1$ fixiert. Dann ist der Koeffizient $c_k$ des Polynoms
\mathl{\prod_{i = 1}^n { \left( X- \lambda_i \right) }}{} aufgrund des Distributivgesetzes gleich
\mathdisp {\pm \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_{n-k} \leq n} \lambda_{i_1} \lambda_{i_2} \cdots \lambda_{i_{n-k} }} { , }
wobei das Vorzeichen von der Parität von $n-k$ abhängt. Somit liegt in jeder Komponente eine
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
vor.
}{Ein Tupel
\mathl{\left( \lambda_1 , \, \ldots , \, \lambda_n \right)}{} gehört genau dann zur Faser über dem Koeffiziententupel
\mathl{\left( c_0 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i = 1}^n { \left( X- \lambda_i \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 0 }^{n-1} c_j X^{j} + X^n
}
{ =} { P
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies bedeutet insbesondere, dass die $\lambda_i$ Nullstellen von $P$ sein müssen. Da ein Polynom nur endliche viele Nullstellen besitzt, gibt es auch nur endlich viele Permutationen davon.
}{Die Faser zu einem Koeffiziententupel
\mathl{\left( c_0 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} ist genau dann leer, wenn das dadurch gegebene Polynom
\mathl{\sum_{j= 0 }^{n-1} c_j X^{j} + X^n}{} nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
}{Die maximale Anzahl in einer Faser ist $n!$. Die Faser besteht aus den
\zusatzklammer {geordneten} {} {}
Nullstellentupeln zu dem durch das Koeffiziententupel gegebenen Polynom, wenn dieses vollständig in Linearfaktoren zerfällt
\zusatzklammer {andernfalls ist die Faser leer} {} {.}
Da es maximal $n$ Nullstellen gibt, kann man höchstens $n!$ geordnete Tupel daraus bilden. Wenn es $n$ verschiedene Nullstellen gibt, so kann man daraus durch Permutationen genau $n!$ geordnete Tupel bilden.
Beispielsweise wird das Nullstellentupel
\mathl{\left( 1 , \, 2 , \, 3 , \, \ldots , \, n \right)}{} auf ein Koeffiziententupel abgebildet, dessen Faser aus all den Permutationen davon besteht.
}{Wenn $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
ist, so zerfällt jedes normierte Polynom in normierte Linearfaktoren, was nach Teil (5) bedeutet, dass die Faser nicht leer ist. Dies bedeutet insgesamt die Surjektivität von $\varphi$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei
\mathl{n=1}{} folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad $d$ maximal $d$ Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein Polynom, das an allen Punkten von
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } =K^n}{} verschwindet. Wir schreiben $F$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { P_dX_n^d + P_{d-1} X_n^d + \cdots + P_1 X_0 +P_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Polynomen
\mathl{P_d , \ldots , P_0 \in K[X_1 , \ldots , X_{n-1}]}{.} Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, was zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{i=0 , \ldots , d}{} äquivalent ist. Es sei also
\zusatzklammer {ohne Einschränkung} {} {}
angenommen, dass $P_d$ nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt
\mathl{(a_1 , \ldots , a_{n-1})}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_d(a_1 , \ldots , a_{n-1} )
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mathl{F(a_1 , \ldots , a_{n-1} )}{} ein Polynom in der einen Variablen $X_{n}$ vom Grad $d$ und ist nach dem Fall einer Variablen nicht die Nullfunktion.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R$. Zeige, dass \maabbdisp {} { R^{\times} } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^{\times} } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Restklassenring der Nullring und die Aussage ist klar, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{r \in R}{} ein Repräsentant einer Einheit aus
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{,} und sei
\mathl{s \in R}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{rs
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{} ist. Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rs - 1
}
{ \in} { {\mathfrak a}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $R$. Wenn $r$ keine Einheit wäre, so wäre
\mathl{rs \in {\mathfrak m}}{} und dann ergäbe sich der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { (1- rs ) +rs
}
{ \in} { {\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist $r$ selbst eine Einheit.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \N \times \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untermonoid}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{m \in M}{} genau dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, wenn $m$ aufgefasst in
\mathl{\N \times \Z/(n)}{} eine Einheit ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ (r,s)
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $m$ in $M$ eine Einheit ist, so gilt dies erst recht in
\mathl{\N \times \Z/(n)}{,} da ja das zu $m$ inverse Element auch zu
\mathl{\N \times \Z/(n)}{} gehört. Es sei nun $m$ eine Einheit in
\mathl{\N \times \Z/(n)}{.} Dann muss zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Das Inverse zu $m=(0,s)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{s
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist in
\mathl{\N \times \Z/(n)}{} durch
\mathl{(0, n-s)=(0,-s)}{} gegeben. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(n-1) (0,s)
}
{ =} { (0, (n-1)s)
}
{ =} { (0, -s)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört dies auch zu $M$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten \maabbeledisp {D} {K[X]} {K[X] } {F} {F' } {.}
}
{
Die Produktregel besagt
\mathdisp {(F \cdot G)' =F \cdot G' + F' \cdot G} { . }
Nach Definition ist die Ableitung
\mathl{F \mapsto F'}{} eine $K$-lineare Abbildung. Deshalb und aufgrund des Distributivgesetzes sind für festes $G$ die Abbildungen
\mathdisp {F \longmapsto F \cdot G \longmapsto (F \cdot G)'} { , }
\mathdisp {F \longmapsto F \cdot G'} { }
und
\mathdisp {F \longmapsto F' \cdot G} { }
$K$-linear. Da jedes $F$ eine eindeutige Darstellung als $K$-Linearkombination mit den Potenzen
\mathbed {X^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
besitzt, genügt es, die Aussage für
\mathl{F=X^n}{} zu zeigen. Die gleiche Überlegung zeigt, dass man lediglich
\mathl{G=X^m}{} betrachten muss. Dann gilt einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X^n \cdot X^m)'
}
{ =} {(X^{n+m})'
}
{ =} {(n+m) X^{n+m-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^n \cdot (X^m)' + (X^n)' \cdot X^m
}
{ =} { m X^n X^{m-1} + n X^{n-1} X^m
}
{ =} { m X^{n+m-1} + nX^{n+m-1}
}
{ =} { (n+m) X^{n+m-1}
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
so dass Gleichheit gilt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( XY^3+YZ^3+ZX^3 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{
Da die Situation symmetrisch in den Variablen ist, genügt es, die Situation auf
\mathl{D_+(Z)}{} zu betrachten. Die inhomogene Gleichung der Kurve lautet dort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{XY^3+Y+X^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial { \left( XY^3+Y+X^3 \right) } }{ \partial X } } = Y^3+3X^2 \text{ und } { \frac{ \partial { \left( XY^3+Y+X^3 \right) } }{ \partial Y } } = 1 + 3XY^2} { . }
Wir ziehen das $X$-fache der ersten Ableitung von der Kurvengleichung ab und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { 2X^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies setzen wir in die Kurvengleichung und in die zweite Ableitung ein und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { XY^3+Y+X^3
}
{ =} { 8X^{10} + 2X^3+X^3
}
{ =} { X^3 { \left( 8X^7 +3 \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+3XY^2
}
{ =} { 1 + 12 X^7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen letzterer Gleichung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgeschlossen. Also müsste für einen singulären Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 3 }{ 8 } }
}
{ =} { X^7
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 12 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, was nicht sein kann.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V_+ { \left( X^2+Y^2+Z^2 \right) }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
der durch die
\definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{(1,0,0)\}} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {(x,y,z)} { (y,z)
} {,}
definierte
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Bestimme das Urbild des Punktes
\mathl{(3,5) \in {\mathbb P}^{1}_{K}}{.}
}
{
Die Urbildgerade zum Punkt
\mathl{(3,5)}{} wird durch die homogene Gleichung
\mathl{5Y-3Z}{} beschrieben. Es geht also um den Durchschnitt
\mathdisp {V_+(X^2+Y^2+Z^2) \cap V_+(5Y-3Z)} { . }
Dies führt auf die homogene Bedingung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { X^2+Y^2+Z^2
}
{ =} {X^2+Y^2+ { \left( { \frac{ 5 }{ 3 } } \right) }^2 Y^2
}
{ =} { X^2+ { \left( { \frac{ 34 }{ 9 } } \right) }^2 Y^2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { \pm { \frac{ \sqrt{34} }{ 3 } } { \mathrm i} Y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei ${ \mathrm i}$ eine Quadratwurzel von $-1$ sei, und die beiden Lösungen sind
\mathdisp {\left( { \frac{ \sqrt{34} }{ 3 } } { \mathrm i} , \, 1 , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } \right) \text{ und } \left( - { \frac{ \sqrt{34} }{ 3 } } { \mathrm i} , \, 1 , \, { \frac{ 5 }{ 3 } } \right)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(s,t)} { (t,s) } {.}
}
{
Da die Koordinaten eines Punktes auf der projektiven Geraden bis auf Multiplikation mit einem Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig festgelegt sind, haben wir die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(s,t)
}
{ =} { \lambda (t,s)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ \lambda t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \lambda s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \lambda^2 t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da nicht beide Koordinaten $0$ sein dürfen, darf hier überhaupt keine Koordinate gleich $0$ sein, und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da wir $t$ zu $1$ normieren können, gibt es die beiden Fixpunkte
\mathdisp {(1,1) \text{ und } (1,-1)} { . }
}