Kurs:Algebraische Kurven/13/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 7 4 10 5 3 0 5 2 0 5 4 3 2 56




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der affine Raum.
  2. Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve .
  3. Ein Morphismus zwischen quasiaffinen Varietäten.
  4. Ein lokaler Ring.
  5. Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid .
  6. Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal .


Lösung

  1. Man nennt den affinen Raum über der Dimension .
  2. Zwei rationale Funktionen und mit , , heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve , wenn

    ist und nicht konstant ist.

  3. Eine stetige Abbildung

    heißt Morphismus, wenn für jede offene Teilmenge und jede algebraische Funktion gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

    zu gehört.

  4. Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
  5. Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen , den Singularitätsgrad von .
  6. Man nennt

    das projektive Nullstellengebilde zu .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
  2. Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
  3. Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.


Lösung

  1. Sei ein Körper und seien zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom , , mit . D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve .
  2. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien , , Polynome mit

    Dann erzeugen die das Einheitsideal

    in .
  3. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei , , ein Polynom in [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|homogener Zerlegung]] und eine Gerade durch den Nullpunkt , die keine Komponente von sei. Dann ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.


Lösung

Sei kein Primideal. Bei ist , also ist nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome mit , aber . Dies bedeutet, dass es Punkte mit und gibt. Wir betrachten die beiden Ideale und . Daher ist

nach Lemma 3.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))  (3). Wegen und sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

so dass eine nicht-triviale Zerlegung von vorliegt und somit nicht irreduzibel ist.
Sei nun nicht irreduzibel. Bei ist kein Primideal. Sei also mit der nicht-trivialen Zerlegung . Sei und . Wegen gibt es einen Punkt , . Also gibt es auch ein , , und somit . Ebenso gibt es , . Für einen beliebigen Punkt ist , da auf und auf verschwindet. Also ist und daher ist kein Primideal.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die reelle algebraische Kurve

Zeige, dass durch

eine Parametrisierung von gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.


Lösung

Für einen beliebigen Winkel ist

das Bild der Abbildung gehört also zur Kurve. Es sei

ein Punkt der Kurve. Es ist

Bei ist auch und wir haben die beiden Urbilder . Bei dividieren wir durch und erhalten

Es liegt die Kreisgleichung vor, daher gibt es ein eindeutig bestimmtes mit

und

Dann ist auch


Aufgabe weiter

Es sei ein Körper. Wir betrachten zu jedem die Abbildung

die einem Nullstellentupel das Koeffiziententupel (ohne die ) des normierten Polynoms

zuordnet.

  1. Beschreibe explizit für .
  2. Beschreibe explizit für .
  3. Begründe, dass die polynomiale Abbildungen sind.
  4. Zeige, dass die Fasern von endlich sind.
  5. Wann ist die Faser zu einem Tupel leer?
  6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für erreicht wird.
  7. Sei nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass surjektiv ist.


Lösung

  1. Bei handelt es sich wegen

    um die Abbildung

  2. Bei handelt es sich wegen

    um die Abbildung

  3. Sei und zwischen und fixiert. Dann ist der Koeffizient des Polynoms aufgrund des Distributivgesetzes gleich

    wobei das Vorzeichen von der Parität von abhängt. Somit liegt in jeder Komponente eine polynomiale Abbildung vor.

  4. Ein Tupel gehört genau dann zur Faser über dem Koeffiziententupel , wenn

    ist. Dies bedeutet insbesondere, dass die Nullstellen von sein müssen. Da ein Polynom nur endliche viele Nullstellen besitzt, gibt es auch nur endlich viele Permutationen davon.

  5. Die Faser zu einem Koeffiziententupel ist genau dann leer, wenn das dadurch gegebene Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
  6. Die maximale Anzahl in einer Faser ist . Die Faser besteht aus den (geordneten) Nullstellentupeln zu dem durch das Koeffiziententupel gegebenen Polynom, wenn dieses vollständig in Linearfaktoren zerfällt (andernfalls ist die Faser leer). Da es maximal Nullstellen gibt, kann man höchstens geordnete Tupel daraus bilden. Wenn es verschiedene Nullstellen gibt, so kann man daraus durch Permutationen genau geordnete Tupel bilden. Beispielsweise wird das Nullstellentupel auf ein Koeffiziententupel abgebildet, dessen Faser aus all den Permutationen davon besteht.
  7. Wenn algebraisch abgeschlossen ist, so zerfällt jedes normierte Polynom in normierte Linearfaktoren, was nach Teil (5) bedeutet, dass die Faser nicht leer ist. Dies bedeutet insgesamt die Surjektivität von .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad maximal Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei ein Polynom, das an allen Punkten von verschwindet. Wir schreiben als

mit Polynomen . Wir müssen zeigen, dass ist, was zu für alle äquivalent ist. Sei also (ohne Einschränkung) angenommen, dass nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt mit . Damit ist ein Polynom in der einen Variablen vom Grad und ist nach dem Fall einer Variablen nicht die Nullfunktion.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein lokaler Ring und ein Ideal von . Zeige, dass

surjektiv ist.


Lösung

Bei ist der Restklassenring der Nullring und die Aussage ist klar, sei also . Sei ein Repräsentant einer Einheit aus , und sei derart, dass

in ist. Dies bedeutet

in . Wenn keine Einheit wäre, so wäre und dann ergäbe sich der Widerspruch

Also ist selbst eine Einheit.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.


Lösung Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Sei und sei ein Untermonoid. Zeige, dass genau dann eine Einheit ist, wenn aufgefasst in eine Einheit ist.


Lösung

Sei . Wenn in eine Einheit ist, so gilt dies erst recht in , da ja das zu inverse Element auch zu gehört. Sei nun eine Einheit in . Dann muss zunächst sein. Das Inverse zu mit ist in durch gegeben. Wegen

gehört dies auch zu .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten


Lösung

Die Produktregel besagt

Nach Definition ist die Ableitung eine -lineare Abbildung. Deshalb und aufgrund des Distributivgesetzes sind für festes die Abbildungen
und
-linear. Da jedes eine eindeutige Darstellung als -Linearkombination mit den Potenzen

, , besitzt, genügt es, die Aussage für zu zeigen. Die gleiche Überlegung zeigt, dass man lediglich betrachten muss. Dann gilt einerseits

und andererseits

so dass Gleichheit gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Lösung

Da die Situation symmetrisch in den Variablen ist, genügt es, die Situation auf zu betrachten. Die inhomogene Gleichung der Kurve lautet dort

Die partiellen Ableitungen sind

Wir ziehen das -fache der ersten Ableitung von der Kurvengleichung ab und erhalten die Bedingung

Dies setzen wir in die Kurvengleichung und in die zweite Ableitung ein und erhalten

und

Wegen letzterer Gleichung ist ausgeschlossen. Also müsste für einen singulären Punkt

gelten, was nicht sein kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei und sei

der durch die Projektion weg vom Punkt

definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes .


Lösung

Die Urbildgerade zum Punkt wird durch die homogene Gleichung beschrieben. Es geht also um den Durchschnitt

Dies führt auf die homogene Bedingung

Somit ist

wobei eine Quadratwurzel von sei, und die beiden Lösungen sind


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Lösung

Da die Koordinaten eines Punktes auf der projektiven Geraden bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig festgelegt sind, haben wir die Bedingung

also und . Dies führt auf . Da nicht beide Koordinaten sein dürfen, darf hier überhaupt keine Koordinate gleich sein, und somit ist . Da wir zu normieren können, gibt es die beiden Fixpunkte