Kurs:Algebraische Kurven/2/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 10 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Nullstellenmenge} {}
zu einer Menge an Polynomen im Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Ein
\stichwort {Untermodul} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$.
}{Eine
\stichwort {Nenneraufnahme} {}
zu einem
\definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{.}
}{Eine \stichwort {monomiale} {} Kurve.
}{Die \stichwort {Schnittmultiplizität} {} zu zwei ebenen algebraischen Kurven
\mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {}
ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V(F) \cap V(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in irreduzible Komponenten.}{Die algebraische Version des
\stichwort {Hilbertschen Nullstellensatzes} {.}}{Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Diskutiere den Zusammenhang zwischen \definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurven}{}{} und dem Satz über implizite Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} { R } { R
} { g } {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in
\mathl{n+1}{} Variablen. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G,H
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
vom gleichen Grad. Für die
\definitionsverweis {Dehomogenisierungen}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {}
gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ G }
}
{ = }{ \tilde{ H }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {noetherschen Ringes}{}{}
nicht noethersch sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+3)}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$K[X,Y]$ mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \notin }{ {\mathfrak m}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass das Bild von
\mathl{f {\mathfrak m}^n}{} in
\mathl{{\mathfrak m}^{n+1}}{} modulo
\mathl{{\mathfrak m}^{n+2}}{} die gleiche Dimension besitzt wie
\mathl{{\mathfrak m}^n/ {\mathfrak m}^{n+1}}{.}
}{Man beschreibe ein
\definitionsverweis {monomiales Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zusammen mit einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \notin }{ {\mathfrak a} {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass das Bild von
\mathl{f {\mathfrak m}^n}{} in
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak m}^n}{} modulo
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak m}^{n+1}}{}
\zusatzklammer {für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine kleinere Dimension besitzt als
\mathl{{\mathfrak m}^n/ {\mathfrak m}^{n+1}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_m ]/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ K[Y_1 , \ldots , Y_n ]/ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ =} { \operatorname{max} \left( m ,\, n \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man das
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
vom
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{A \times B}{} als eine abgeschlossene Menge des
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ \ell +1 } }}{} realisieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Ein Geldfälscher stellt $6-, 9-, 14-$ und $25-$Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} des zugehörigen numerischen Monoids.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_0 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$. Zeige, dass für einen Punkt
\mathl{\left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} und einen Skalar $\lambda$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F \left( \lambda x_0 , \, \ldots , \, \lambda x_n \right)
}
{ =} { \lambda^d F \left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Man folgere, dass $F$ in
\mathl{\left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} genau dann verschwindet, wenn $F$ für ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\lambda \left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} verschwindet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{ K } } { {\mathbb P}^{1}_{ K } } {(s,t)} { (t,s) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestätige
den Satz von Bezout
für die beiden
\zusatzklammer {über ${\mathbb C}$ affin gegebenen} {} {}
Kreise
\mathdisp {V{ \left( X^2+Y^2-1 \right) } \text{ und } V{ \left( X^2+Y^2-4 \right) }} { . }
}
{} {}