Kurs:Algebraische Kurven/2/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 7 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Nullstellenmenge} {}
zu einer Menge an Polynomen im Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Ein
\stichwort {Untermodul} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$.
}{Eine
\stichwort {Nenneraufnahme} {}
zu einem
\definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{.}
}{Eine \stichwort {monomiale} {} Kurve.
}{Die \stichwort {Schnittmultiplizität} {} zu zwei ebenen algebraischen Kurven \mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {} ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt $P \in V(F) \cap V(G)$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in irreduzible Komponenten.}{Die algebraische Version des
\stichwort {Hilbertschen Nullstellensatzes} {.}}{Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Finde auf der
\definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(X^3-Y^3+4X^2-2XY+Y+3)
}
{ \subset} { {\mathbb C}^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (4+3)}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { {\mathbb K} [X,Y] /(X^2+Y^2-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und darin das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (X,Y-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei ${\mathbb K}$ gleich
\mathbed {\R} {oder}
{{\mathbb C}} {}
{} {} {} {}
sei.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist. Man gebe einen Erzeuger an.
} {Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei $p \in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $A$ bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei $q \in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis $B$ bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden
\definitionsverweis {unabhängig}{}{}
voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse
\mathl{(A,B),(A, \neg B), (\neg A,B) , (\neg A, \neg B)}{} haben dann eine von $p$ und $q$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }
} {(p,q)} { \left( pq , \, p(1-q) , \, (1-p)q , \, (1-p)(1-q) \right) = \left( x , \, y , \, z , \, w \right)
} {,}
auf.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Abbildung
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
} {Beschreibe das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $F=(0,0)$ der Nullpunkt in der reellen Ebene und $G=V(X-1)$. Es sei $e >0$ eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte $P=(x,y)$ mit der Eigenschaft, dass der Abstand $d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor $\sqrt{e}$ zum (senkrechten) Abstand $d(P,G)$ ist.
Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei $e<1$ eine Ellipse, bei $e=1$ eine Parabel und bei $e>1$ eine Hyperbel vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise durch noethersche Induktion, dass jede affin-algebraische Menge eine endliche Zerlegung in irreduzible affin-algebraische Mengen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $R$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
mit
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.} Es sei
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a}}{} eine
\definitionsverweis {Restklassendarstellung}{}{}
von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {K[X_1 , \ldots , X_n]} {R
} {}
und dem
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {P} { P \circ \varphi
} {}
eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} und
\mathl{V( {\mathfrak a} )}{} stiftet, die bezüglich der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
ein
\definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ das durch die Erzeuger $e,f,g$ mit der Relation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e+f
}
{ =} { 2g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {kommutative Monoid}{}{}
und es sei ${\mathbb F}_{ q }$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl des
${\mathbb F}_{ q }$-\definitionsverweis {Spektrums}{}{}
von $M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im Ring $R=K[\Q_{\geq 0}]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
\mathdisp {V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) } \subset {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass die Nenneraufnahme $R_f$ ebenfalls normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Betrachte die beiden reellen Kurven
\mathdisp {V(X^5-X^3+2XY+7Y^2-9)} { }
im Punkt
\mathl{(1,1)}{} und
\mathdisp {V(X^4+Y^4-3X^2Y^2 +5X+7Y)} { }
im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere die
\definitionsverweis {projektive Nullstellenmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(XYZ)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K={\mathbb C}$. Bestimme für die beiden affinen Kurven
\mathdisp {V { \left( Y-X^3 \right) } \text{ und } V { \left( Y^2-X^3 \right) }} { }
ihre Schnittpunkte zusammen mit den
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{.}
Betrachte auch Schnittpunkte im ${\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}$ und bestätige
den Satz von Bezout
in diesem Beispiel.
}
{} {}