Kurs:Algebraische Kurven/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 7 4 6 4 8 4 4 4 3 2 1 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring .
  2. Ein Untermodul zu einem -Modul .
  3. Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System in einem kommutativen Ring .
  4. Eine affine Varietät.
  5. Eine monomiale Kurve.
  6. Die Schnittmultiplizität zu zwei ebenen algebraischen Kurven und ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge in irreduzible Komponenten.
  2. Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
  3. Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring .


Aufgabe * (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

einen Punkt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe * (7 (4+3) Punkte)

Wir betrachten den kommutativen Ring

und darin das Ideal

wobei gleich  oder sei.

  1. Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein Hauptideal ist. Man gebe einen Erzeuger an.
  2. Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse haben dann eine von und abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

auf.

  1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
  2. Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei der Nullpunkt in der reellen Ebene und . Es sei eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte mit der Eigenschaft, dass der Abstand proportional mit Proportionalitätsfaktor zum (senkrechten) Abstand ist.

Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei eine Ellipse, bei eine Parabel und bei eine Hyperbel vorliegt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch noethersche Induktion, dass jede affin-algebraische Menge eine endliche Zerlegung in irreduzible affin-algebraische Mengen besitzt.


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit -Spektrum . Es sei eine Restklassendarstellung von mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

und dem Nullstellengebilde . Zeige, dass die die Abbildung

eine Bijektion zwischen und stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei das durch die Erzeuger mit der Relation

gegebene kommutative Monoid und es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl des -Spektrums von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und , . Zeige, dass die Nenneraufnahme ebenfalls normal ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die beiden reellen Kurven

im Punkt und

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die projektive Nullstellenmenge


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei . Bestimme für die beiden affinen Kurven

ihre Schnittpunkte zusammen mit den Schnittmultiplizitäten. Betrachte auch Schnittpunkte im und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.