Kurs:Algebraische Kurven/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	7	4	6	4	8	4	4	4	3	2	1	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
2. Ein Untermodul ${}U\subseteq M$ zu einem ${}R$- Modul ${}M$.
3. Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Eine affine Varietät.
5. Eine monomiale Kurve.
6. Die Schnittmultiplizität zu zwei ebenen algebraischen Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt ${}P\in V(F)\cap V(G)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ in irreduzible Komponenten.
2. Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
3. Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

${}V(X^{3}-Y^{3}+4X^{2}-2XY+Y+3)\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$

einen Punkt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe * (7 (4+3) Punkte)

Wir betrachten den kommutativen Ring

${}R={\mathbb {K} }[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\,$

und darin das Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(X,Y-1)\,,$

wobei ${}{\mathbb {K} }$ gleich ${}\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$ sei.

1. Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein Hauptideal ist. Man gebe einen Erzeuger an.
2. Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}p\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis ${}A$ bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei ${}q\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis ${}B$ bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse ${}(A,B),(A,\neg B),(\neg A,B),(\neg A,\neg B)$ haben dann eine von ${}p$ und ${}q$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{4}},\,(p,q)\longmapsto \left(pq,\,p(1-q),\,(1-p)q,\,(1-p)(1-q)\right)=\left(x,\,y,\,z,\,w\right),$

auf.

1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
2. Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}F=(0,0)$ der Nullpunkt in der reellen Ebene und ${}G=V(X-1)$. Es sei ${}e>0$ eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte ${}P=(x,y)$ mit der Eigenschaft, dass der Abstand ${}d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor ${}{\sqrt {e}}$ zum (senkrechten) Abstand ${}d(P,G)$ ist.

Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei ${}e<1$ eine Ellipse, bei ${}e=1$ eine Parabel und bei ${}e>1$ eine Hyperbel vorliegt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch noethersche Induktion, dass jede affin-algebraische Menge eine endliche Zerlegung in irreduzible affin-algebraische Mengen besitzt.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$- Algebra mit ${}K$- Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

$\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Zeige, dass die die Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$ stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ das durch die Erzeuger ${}e,f,g$ mit der Relation

${}e+f=2g\,$

gegebene kommutative Monoid und es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Bestimme die Anzahl des ${}{\mathbb {F} }_{q}$- Spektrums von ${}M$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Teiler von ${}X$ im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

$V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ ebenfalls normal ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die beiden reellen Kurven

$V(X^{5}-X^{3}+2XY+7Y^{2}-9)$

im Punkt ${}(1,1)$ und

$V(X^{4}+Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+5X+7Y)$

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die projektive Nullstellenmenge

${}V_{+}(XYZ)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Bestimme für die beiden affinen Kurven

$V{\left(Y-X^{3}\right)}{\text{ und }}V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$

ihre Schnittpunkte zusammen mit den Schnittmultiplizitäten. Betrachte auch Schnittpunkte im ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.