Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

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%Klausurdaten

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\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 7 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 8 }

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\punktetabelledreizehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {ebene affin-algebraische Kurve} {} über einem Körper $K$.

}{Das \stichwort {Verschwindungsideal} {} zu einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{.}

}{Ein \stichwort {noetherscher} {} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$.

}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.

}{Die \stichwort {eingesetze} {} Potenzreihe $F(G)$.

}{Der \stichwort {projektive Raum} {}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper $K$ ist das \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(F) }
{ \subseteq }{K^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines nicht-konstanten Polynoms $F$ in zwei Variablen. }{Man nennt
\mathdisp {{ \left\{ F \in K[X_1 , \ldots , X_n] \mid F(P) = 0 \text { für alle } P \in T \right\} }} { }
das Verschwindungsideal zu $T$. }{Der $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$ heißt noethersch, wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ endlich erzeugt ist. }{Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} besitzt. }{Es sei
\mathl{F= {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i } \in K[ \![T]\! ]}{} eine Potenzreihe und es sei
\mathl{G={\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j }}{} eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann nennt man die Potenzreihe
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ F(G) }
{ =} { a_0 + a_1 { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) } +a_2 { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) }^2 +a_3 { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j } \right) }^3 + \ldots }
{ =} {{\sum }_{ k=0 }^{ \infty } c_{ k } T ^{ k } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{} die eingesetzte Potenzreihe. }{Der projektive Raum
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} besteht aus allen Geraden des
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }}{} durch den Nullpunkt. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten} {.}}{Der \stichwort {Hilbertsche Basissatz} {.}}{Der \stichwort {Satz von Bezout} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Für einen kommutativen Ring $R$ sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungzwei { $R$ ist noethersch. } {Jede aufsteigende Idealkette
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
wird stationär, d.h. es gibt ein $n$ mit
\mathl{{\mathfrak a}_n = {\mathfrak a}_{n+1} = \ldots}{.} }}{Es sei $R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring
\mathl{R[X]}{} noethersch.}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien
\mathl{F,G \in K[X,Y,Z]}{} zwei homogene Polynome vom Grad $m$ und $n$ ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven
\mathl{C=V_+(F), D=V_+(G) \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{.} Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{P} \operatorname{mult} _{ {P} } ( C, D ) }
{ =} { mn }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von
\mathl{V(X^2+Y^2-1)}{} und
\mathl{V(Y-3X^2+2)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}}{.}

}
{

Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} {3X^2-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in die Kreisgleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 }
{ =} { { \left( 3X^2-2 \right) }^2+X^2 }
{ =} { 9X^4-12X^2+4 +X^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9 X^4 -11X^2+3 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( X^2- { \frac{ 11 }{ 18 } } \right) }^2 - { \frac{ 121 }{ 324 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^2 }
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ 121 }{ 324 } } -{ \frac{ 1 }{ 3 } } } + { \frac{ 11 }{ 18 } } }
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ 121 }{ 324 } } -{ \frac{ 108 }{ 324 } } } + { \frac{ 11 }{ 18 } } }
{ =} { \pm { \frac{ \sqrt{ 13 } }{ 18 } } + { \frac{ 11 }{ 18 } } }
{ =} { \pm { \frac{ \sqrt{ 13 } + 11 }{ 18 } } }
} {} {}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X }
{ =} { \pm \sqrt{ \pm { \frac{ \sqrt{ 13 } + 11 }{ 18 } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Es sei
\mathl{V \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} eine irreduzible \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{} mit \definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \,(V)}{.} Zeige, dass
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.

}
{

Es sei angenommen, dass
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} kein Primideal ist. Bei
\mathl{\operatorname{Id} \, (V) =K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist
\mathl{V= \emptyset}{,} also ist $V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome
\mathl{F,G \in K[X_1, \ldots, X_n]}{} mit
\mathl{FG \in \operatorname{Id} \, (V)}{,} aber
\mathl{F,G \not \in \operatorname{Id}\, (V)}{.} Dies bedeutet, dass es Punkte
\mathl{P,Q \in V}{} gibt mit
\mathl{F(P) \neq 0}{} und
\mathl{G(Q) \neq 0}{.} Wir betrachten die beiden Ideale
\mathl{{\mathfrak a}_1 =\operatorname{Id}\, (V)+(F)}{} und
\mathl{{\mathfrak a}_2 =\operatorname{Id} \, (V)+(G)}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a}_1), V( {\mathfrak a}_2) }
{ \subseteq} { V(\operatorname{Id}\, (V) ) }
{ =} {V }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen \mathkor {} {P \not\in V({\mathfrak a}_1)} {und} {Q \not\in V({\mathfrak a}_2)} {} sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a}_1) \cup V({\mathfrak a}_2) }
{ =} { V({\mathfrak a}_1 \cdot {\mathfrak a}_2) }
{ =} { V( \operatorname{Id} \,(V) ) }
{ =} { V }
{ } { }
} {}{}{,} so dass eine nicht-triviale Zerlegung von $V$ vorliegt und somit $V$ nicht irreduzibel ist.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein Körper. Betrachte die durch \maabbeledisp {} {{\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( t^2+1 , \, t^3-t \right) } {} definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine \zusatzklammer {nichttriviale} {} {} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.

}
{

Wir berechnen einige Monome in $X$ und $Y$. Es ist
\mathdisp {X^0Y^0=1} { , }

\mathdisp {X= t^2+1} { , }

\mathdisp {X^2=t^4+2t^2+1} { , }

\mathdisp {X^3=t^6+3t^4+3t^2+1} { , }

\mathdisp {Y^2=t^6 -2t^4+t^2} { . }
Dies sind $5$ Polynome, in denen nur die Potenzen
\mathl{t^0,t^2,t^4,t^6}{} vorkommen, also müssen sie linear abhängig sein. Eine lineare Relation ist durch
\mathdisp {-Y^2+ X^3-5X^2 +8X -4 = 0} { }
gegeben.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{8}
{

Beweise die Charakterisierung von \definitionsverweis {noetherschen Ringen}{}{} mit Idealketten.

}
{

(1) $\Rightarrow$ (2). Sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Idealkette in $R$. Wir betrachten die Vereinigung
\mathl{{\mathfrak a} = \bigcup_{n \in \N } {\mathfrak a}_n}{,} die wieder ein Ideal in $R$ ist. Da $R$ noethersch ist, ist ${\mathfrak a}$ endlich erzeugt, d.h.
\mathl{{\mathfrak a}= (f_1 , \ldots , f_k)}{.} Da diese $f_i$ in der Vereinigung der Ideale ${\mathfrak a}_n$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein $n$ derart geben, dass
\mathl{f_1 , \ldots , f_k \in {\mathfrak a}_n}{} liegt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 , \ldots , f_k) }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_n }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_{n+m} }
{ \subseteq} {\bigcup_{n \in \N } {\mathfrak a}_n }
{ \subseteq} {(f_1, \ldots , f_k) }
} {}{}{} für
\mathl{m \geq 0}{} muss hier Gleichheit gelten, so dass die Idealkette ab $n$ stationär ist.

(2) $\Rightarrow$ (1). Es sei $\mathfrak a$ ein Ideal in $R$. Wir nehmen an, $\mathfrak a$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette
\mathl{{\mathfrak a}_n \subset \mathfrak a}{,} wobei die ${\mathfrak a}_n$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subset {\mathfrak a}_2 \subset \ldots \subset {\mathfrak a}_n \subseteq {\mathfrak a}} { }
bereits konstruiert. Da ${\mathfrak a}_n$ endlich erzeugt ist, aber ${\mathfrak a}$ nicht, ist die Inklusion
\mathl{{\mathfrak a}_n \subseteq {\mathfrak a}}{} echt und es gibt ein Element
\mathdisp {f_{n+1} \in {\mathfrak a}, \, f_{n+1} \not\in {\mathfrak a}_{n}} { . }
Dann setzt das Ideal
\mathl{{\mathfrak a}_{n+1} \defeq {\mathfrak a}_{n} + ( f_{n+1})}{} die Idealkette echt aufsteigend fort.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {integre}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es seien $f,g \in R$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {$D(f) \subseteq D(g)$ } {Es gibt einen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} $R_g \to R_f$. } Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für $K=\R$ nicht gilt.

}
{

Wenn (2) erfüllt ist, so kann man insbesondere schreiben $1/g = r/f^n$ bzw. $f^n=rg$, d.h. $g$ teilt eine Potenz von $f$ bzw. $f$ gehört zum Radikal von $(g)$. Wenn dies umgekehrt gilt, so ist $g$ eine Einheit in $R_f$ und es gibt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R_g \to R_f$.

Aus der Radikalzugehörigkeit $f \in \operatorname{rad}\, (g)$ folgt sofort, dass $f$ auf $V(g)$ verschwindet, also $V(g) \subseteq V(f)$. Die Umkehrung folgt, für $K$ algebraisch abgeschlossen, aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Bei $K=\R$ gilt die letzte Umkehrung nicht, wie das Beispiel $f=1$ und $g=X^2+1$ in $R=K[X]$ zeigt. $g$ hat reell keine Nullstelle, also ist $V(g)={\mathbb A}^{1}_{\R} =V(1)$, es ist aber $g$ keine Einheit im Polynomring.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Ein Geldfälscher stellt $6-, 9-, 14-$ und $25-$Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} des zugehörigen numerischen Monoids.

}
{

Wir berechnen die Summen, die man aus den vier Zahlen bilden kann. Dabei gehen wir so vor, dass wir zu einer Summe aus den drei größeren Zahlen ein Vielfaches von $6$ dazuaddieren. Die Vielfachen von $6$ sind
\mathdisp {6,12,18,24,30, \ldots} { . }
Von $9$ ausgehend erhält man
\mathdisp {9,15,21,27, \ldots} { . }
Von $14$ ausgehend erhält man
\mathdisp {14,20,26, \ldots} { . }
Von $18=9+9$ ausgehend erhält man nichts neues. Von $23=9+14$ ausgehend erhält man
\mathdisp {23,29, \ldots} { . }
Dazu kommen noch $27=9+9+9$ und $28=14+14$. Wegen der $25$ gehören alle sechs aufeinanderfolgenden Beträge
\mathl{23,24,25,26,27,28,}{} zum Monoid, so dass auch alle folgenden Zahlen dazugehören. Die kleinste Zahl, die nicht dazugehört, ist die $22$, da sie in der Liste nicht auftaucht. Somit ist
\mathl{23}{} die Führungszahl. Die Multiplizität ist die kleinste Zahl, also $6$, und die Einbettungszahl ist $4$, da keine der vier Zahlen überflüssig ist. Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken, die Lücken sind
\mathdisp {1,2,3,4,5, 7,8, 10,11,13,16,17,19,22} { . }
Der Singularitätsgrad ist also $14$, das sind die Beträge, die er nicht begleichen kann.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten \zusatzklammer {einschließlich ihrer Multiplizitäten} {} {} im Nullpunkt $(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( Y^6-2XY^5+X^2Y^3+3X^3Y^2+5X^4Y \right) } }
{ \subseteq} {{\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Die Multiplizität ist der Grad der homogenen Komponenten vom kleinsten Grad, also $5$. Zur Bestimmung der Tangenten muss man $X^2Y^3+3X^3Y^2+5X^4Y$ in Linearfaktoren zerlegen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2Y^3+3X^3Y^2+5X^4Y }
{ =} { X^2Y { \left( Y^2+3XY+5X^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für den hinteren Faktor gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ Y^2+3XY+5X^2 }
{ =} { { \left( Y + { \frac{ 3 }{ 2 } } X \right) }^2 + { \left( 5 - { \frac{ 9 }{ 4 } } \right) } X^2 }
{ =} { { \left( Y + { \frac{ 3 }{ 2 } } X \right) }^2 + { \frac{ 11 }{ 4 } } X^2 }
{ =} { { \left( Y + { \frac{ 3 }{ 2 } } X + { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 } } X \right) } { \left( Y + { \frac{ 3 }{ 2 } } X - { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 } } X \right) } }
{ =} { { \left( Y + { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } + { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 } } \right) } X \right) } { \left( Y + { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } - { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 } } \right) } X \right) } }
} {} {}{.} Als Tangentengleichungen ergeben sich also
\mathl{X=0}{} \zusatzklammer {die $Y$-Achse mit der Multiplizität $2$} {} {,}
\mathl{Y=0}{,}
\mathl{Y + { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } + { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 } } \right) } X =0}{} und
\mathl{Y + { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } - { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 } } \right) } X =0}{} \zusatzklammer {jeweils mit einfacher Multiplizität} {} {.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
\mathdisp {V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) } \subset {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}} { . }

}
{

Es sei $F$ das beschreibende Polynom. Die partiellen Ableitungen sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial F }{ \partial X } } = -6X^2+6XY \text{ und } { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } = 3X^2-1} { . }
Wir setzen beide Polynome gleich null. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich $x^2= \frac{1}{3}$ und daher
\mathdisp {x=\pm \sqrt\frac{1}{3}} { . }
In der ersten Gleichung können wir $6X$ ausklammern, welches nicht null ist, so dass $x=y$ sein muss, also ist ebenfalls $y=\pm \sqrt\frac{1}{3}$. Für $x=y$ wird die Kurvengleichung zu
\mathdisp {x^3-x + \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{1}{3} }} { . }
Bei $x=\sqrt{ \frac{1}{3} }$ ergibt sich der Wert
\mathdisp {\frac{1}{3} \sqrt{ \frac{1}{3} } - \sqrt{ \frac{1}{3} } + \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{1}{3} } = 0} { , }
so dass
\mathl{\left( \sqrt{ \frac{1}{3} } , \, \sqrt{ \frac{1}{3} } \right)}{} ein Punkt der Kurve ist. Bei $x=y=- \sqrt{ \frac{1}{3} }$ ergibt sich hingegen
\mathdisp {-\frac{1}{3} \sqrt{ \frac{1}{3} } + \sqrt{ \frac{1}{3} } + \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{1}{3} } = \frac{4}{3} \sqrt{ \frac{1}{3} } \neq 0} { , }
so dass dies kein Punkt der Kurve ist. Die einzige Singularität der Kurve ist also
\mathl{\left( \sqrt{ \frac{1}{3} } , \, \sqrt{ \frac{1}{3} } \right)}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V(X^4-X^2+3Y^2-2XY^3)} { }
\zusatzklammer {über einem Körper der Charakteristik $0$} {} {} eine nichtkonstante Potenzreihenlösung
\mathl{Y=F(X)}{} im Nullpunkt bis zum dritten Grad.

}
{

Wir machen den Ansatz
\mathl{Y=F(X)={\sum }_{ n=0 }^{ \infty } a_{ n } X ^{ n }}{,} setzen dies in die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^4-X^2+3XY -2Y^3 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein und berechnen sukzessive die Koeffizienten durch Vergleich der Koeffizienten für $X^{i}$.
\mathdisp {X^0: -2 a_0^3 =0 \text{ also } a_0=0} { . }
Daher ist der Koeffizient zu
\mathdisp {X^1} { }
schon gleich $0$.
\mathdisp {X^2: - 1+3a_1=0, \text{ also } a_1= { \frac{ 1 }{ 3 } }} { . }

\mathdisp {X^3: 3a_2-2 a_1^3 =0, \text{ also } a_2= { \frac{ 2 }{ 3^4 } } ={ \frac{ 2 }{ 81 } }} { . }

\mathdisp {X^4: 1 +3a_3 -6a_1^2 a_2 =1+3a_3 - { \frac{ 4 }{ 243 } } = 0, \text{ also } a_3= - { \frac{ 239 }{ 729 } }} { . }
Die Anfangsglieder der Potenzreihe sind also
\mathdisp {F= { \frac{ 1 }{ 3 } } X + { \frac{ 2 }{ 81 } } X^2 - { \frac{ 239 }{ 729 } } X^3 + \ldots} { . }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es eine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ C_1 \cup C_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit zwei affinen, in $C$ offenen \definitionsverweis {ebenen Kurven}{}{} \mathkor {} {C_1} {und} {C_2} {} gibt.

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt, der nicht auf $C$ liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Es seien \mathkor {} {L_1} {und} {L_2} {} zwei verschiedene projektive Geraden durch $P$. Die \zusatzklammer {offenen} {} {} Komplemente, also \mathkor {} {U_1 ={\mathbb P}^{2}_{K} \setminus L_1} {und} {U_2 ={\mathbb P}^{2}_{K} \setminus L_2} {} sind isomorph zu affinen Ebenen. Daher sind sowohl \mathkor {} {C_1 =C \cap U_1} {als auch} {C_2 =C \cap U_2} {} affine ebene Kurven, die beide in $C$ offen sind. Da $P$ der einzige Schnittpunkt der beiden Geraden ist, gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 \cup U_2 }
{ = }{ {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{P\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ U_1 \cup U_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ C_1 \cup C_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{9 (4+3+2)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$. Wir betrachten die beiden Kurven
\mathl{C=V { \left( Y^2-X^b \right) }}{} und
\mathl{D=V { \left( Y^2-X^c \right) }}{} mit
\mathl{c > b \geq 3}{,} $b,c$ ungerade.

a) Berechne die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} der beiden Kurven im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}

b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in
\mathl{(1,1)}{.}

c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.

}
{

a) Die Schnittmultiplizität ist die $K$-Vektorraum-Dimension von
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^2-X^b,Y^2-X^c)}{.} Im lokalen Ring
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}}{} gilt
\mathl{X^b-X^c=X^b(1-X^{c-b})}{} und
\mathl{1-X^{c-b}}{} ist eine Einheit. Daher gelten die Gleichheiten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (Y^2-X^b,Y^2-X^c) }
{ =} { (Y^2-X^b, X^b-X^c) }
{ =} {(Y^2-X^b,X^b) }
{ =} {(Y^2,X^b) }
{ } { }
} {} {}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^2-X^b,Y^2-X^c) }
{ =} {K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^2 , X^b) }
{ =} {K[X,Y] /(Y^2 , X^b) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und dessen Dimension ist $2b$.

b) Die partiellen Ableitungen von
\mathl{Y^2-X^b}{} sind
\mathl{(2Y,-bX^{b-1})}{.} Im Punkt
\mathl{(1,1)}{} ist dies
\mathl{(2,-b)}{.} Daran sieht man, dass ein glatter Punkt vorliegt, dessen Tangente durch den Richtungsvektor
\mathl{(b,2)}{} gegeben ist. Entsprechendes gilt für
\mathl{Y^2-X^c}{.} Daher schneiden sich die beiden Kurven in
\mathl{(1,1)}{} \definitionsverweis {transversal}{}{} und somit ist nach Lemma 26.7 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) die Schnittmultiplizität gleich $1$.

c) Die Homogenisierungen der Kurvengleichungen sind \mathkor {} {Y^2 Z^{b-2} -X^b} {und} {Y^2 Z^{c-2} -X^c} {.} Die unendlich fernen Schnittpunkte liegen in
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K} \setminus D_+(Z)}{,} also auf
\mathl{V_+(Z)}{.} Dies ergibt für beide Kurven die Bedingung
\mathl{Z=X=0}{} und den zusätzlichen Punkt
\mathl{(0,1,0)}{.}


}