Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 7 | 4 | 8 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 9 | 63 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper .
- Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge .
- Ein noetherscher - Modul .
- Ein lokaler Ring.
- Die eingesetze Potenzreihe .
- Der projektive Raum .
- Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper ist das Nullstellengebilde eines nicht-konstanten Polynoms in zwei Variablen.
- Man nennt
das Verschwindungsideal zu .
- Der - Modul heißt noethersch, wenn jeder -Untermodul von endlich erzeugt ist.
- Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
- Es sei
eine Potenzreihe und es sei eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term . Dann nennt man die Potenzreihe
- Der projektive Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
- Der Hilbertsche Basissatz.
- Der Satz von Bezout.
- Für einen kommutativen Ring sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist noethersch.
- Jede aufsteigende Idealkette
wird stationär, d.h. es gibt ein mit .
- Es sei ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring noethersch.
- Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien zwei homogene Polynome vom Grad und ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven . Dann gilt
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte von und in .
Wir setzen
in die Kreisgleichung ein und erhalten
bzw.
Dies führt auf
und somit ist
Somit ist
Aufgabe (7 Punkte)
Es sei eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal . Zeige, dass ein Primideal ist.
Es sei angenommen, dass kein Primideal ist. Bei ist , also ist nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome mit , aber . Dies bedeutet, dass es Punkte gibt mit und . Wir betrachten die beiden Ideale und . Daher ist
Wegen und sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
sodass eine nicht-triviale Zerlegung von vorliegt und somit nicht irreduzibel ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper. Betrachte die durch
definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.
Wir berechnen einige Monome in und . Es ist
Dies sind Polynome, in denen nur die Potenzen vorkommen, also müssen sie linear abhängig sein. Eine lineare Relation ist durch
gegeben.
Aufgabe (8 Punkte)
Beweise die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
(1) (2). Sei
eine aufsteigende Idealkette in . Wir betrachten die Vereinigung , die wieder ein Ideal in ist. Da noethersch ist, ist endlich erzeugt, d.h. . Da diese in der Vereinigung der Ideale liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein derart geben, dass liegt. Wegen
für muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab stationär ist.
(2) (1). Es sei ein Ideal in . Wir nehmen an, sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette , wobei die alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu
bereits konstruiert. Da endlich erzeugt ist, aber nicht, ist die Inklusion echt und es gibt ein Element
Dann setzt das Ideal die Idealkette echt aufsteigend fort.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine integre endlich erzeugte - Algebra. Es seien . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Es gibt einen - Algebrahomomorphismus .
Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für nicht gilt.
Wenn (2) erfüllt ist, so kann man insbesondere schreiben bzw. , d.h. teilt eine Potenz von bzw. gehört zum Radikal von . Wenn dies umgekehrt gilt, so ist eine Einheit in und es gibt einen -Algebrahomomorphismus .
Aus der Radikalzugehörigkeit folgt sofort, dass auf verschwindet, also . Die Umkehrung folgt, für algebraisch abgeschlossen, aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.
Bei gilt die letzte Umkehrung nicht, wie das Beispiel und in zeigt. hat reell keine Nullstelle, also ist , es ist aber keine Einheit im Polynomring.
Aufgabe (4 Punkte)
Ein Geldfälscher stellt und Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.
Wir berechnen die Summen, die man aus den vier Zahlen bilden kann. Dabei gehen wir so vor, dass wir zu einer Summe aus den drei größeren Zahlen ein Vielfaches von dazuaddieren. Die Vielfachen von sind
Von ausgehend erhält man
Von ausgehend erhält man
Von ausgehend erhält man nichts neues. Von ausgehend erhält man
Dazu kommen noch und . Wegen der gehören alle sechs aufeinanderfolgenden Beträge zum Monoid, sodass auch alle folgenden Zahlen dazugehören. Die kleinste Zahl, die nicht dazugehört, ist die , da sie in der Liste nicht auftaucht. Somit ist die Führungszahl. Die Multiplizität ist die kleinste Zahl, also , und die Einbettungszahl ist , da keine der vier Zahlen überflüssig ist. Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken, die Lücken sind
Der Singularitätsgrad ist also , das sind die Beträge, die er nicht begleichen kann.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (einschließlich ihrer Multiplizitäten) im Nullpunkt der ebenen algebraischen Kurve
Die Multiplizität ist der Grad der homogenen Komponenten vom kleinsten Grad, also . Zur Bestimmung der Tangenten muss man in Linearfaktoren zerlegen. Es ist
Für den hinteren Faktor gilt
Als Tangentengleichungen ergeben sich also (die -Achse mit der Multiplizität ), , und (jeweils mit einfacher Multiplizität).
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
Es sei das beschreibende Polynom. Die partiellen Ableitungen sind
Wir setzen beide Polynome gleich null. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich und daher
In der ersten Gleichung können wir ausklammern, welches nicht null ist, sodass sein muss, also ist ebenfalls . Für wird die Kurvengleichung zu
Bei ergibt sich der Wert
sodass ein Punkt der Kurve ist. Bei ergibt sich hingegen
sodass dies kein Punkt der Kurve ist. Die einzige Singularität der Kurve ist also .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme für die ebene algebraische Kurve
(über einem Körper der Charakteristik ) eine nichtkonstante Potenzreihenlösung im Nullpunkt bis zum dritten Grad.
Wir machen den Ansatz , setzen dies in die Gleichung
ein und berechnen sukzessive die Koeffizienten durch Vergleich der Koeffizienten für .
Daher ist der Koeffizient zu
schon gleich .
Die Anfangsglieder der Potenzreihe sind also
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass es eine Überdeckung mit zwei affinen, in offenen ebenen Kurven und gibt.
Es sei ein Punkt, der nicht auf liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da algebraisch abgeschlossen ist. Es seien und zwei verschiedene projektive Geraden durch . Die (offenen) Komplemente, also und sind isomorph zu affinen Ebenen. Daher sind sowohl als auch affine ebene Kurven, die beide in offen sind. Da der einzige Schnittpunkt der beiden Geraden ist, gilt . Daher ist und somit .
Aufgabe (9 (4+3+2) Punkte)
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Wir betrachten die beiden Kurven und mit , ungerade.
a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt .
b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in .
c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.
a) Die Schnittmultiplizität ist die -Vektorraum-Dimension von . Im lokalen Ring gilt und ist eine Einheit. Daher gelten die Gleichheiten
Somit ist
und dessen Dimension ist .
b) Die partiellen Ableitungen von sind . Im Punkt ist dies . Daran sieht man, dass ein glatter Punkt vorliegt, dessen Tangente durch den Richtungsvektor gegeben ist. Entsprechendes gilt für . Daher schneiden sich die beiden Kurven in transversal und somit ist nach Lemma 26.7 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) die Schnittmultiplizität gleich .
c) Die Homogenisierungen der Kurvengleichungen sind und . Die unendlich fernen Schnittpunkte liegen in , also auf . Dies ergibt für beide Kurven die Bedingung und den zusätzlichen Punkt .