Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 4 7 4 8 4 4 4 4 4 6 9 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper .
  2. Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge .
  3. Ein noetherscher -Modul .
  4. Ein lokaler Ring.
  5. Die eingesetze Potenzreihe .
  6. Der projektive Raum .

Lösung

  1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper ist das Nullstellengebilde eines nicht-konstanten Polynoms in zwei Variablen.
  2. Man nennt

    das Verschwindungsideal zu .

  3. Der -Modul heißt noethersch, wenn jeder -Untermodul von endlich erzeugt ist.
  4. Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
  5. Es sei eine Potenzreihe und es sei eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term . Dann nennt man die Potenzreihe
    die eingesetzte Potenzreihe.
  6. Der projektive Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
  2. Der Hilbertsche Basissatz.
  3. Der Satz von Bezout.

Lösung

  1. Für einen [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|kommutativen Ring]] sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist noethersch.
    2. Jede aufsteigende Idealkette

      wird stationär, d.h. es gibt ein mit .

  2. Sei ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring noethersch.
  3. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien zwei homogene Polynome vom Grad und ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven . Dann gilt


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte von und in .

Lösung

Wir setzen

in die Kreisgleichung ein und erhalten

bzw.

Dies führt auf

und somit ist

Somit ist


 

Aufgabe * (7 Punkte)

Sei eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal . Zeige, dass ein Primideal ist.

Lösung

Sei angenommen, dass kein Primideal ist. Bei ist , also ist nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome mit , aber . Dies bedeutet, dass es Punkte gibt mit und . Wir betrachten die beiden Ideale und . Daher ist

Wegen und sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

so dass eine nicht-triviale Zerlegung von vorliegt und somit nicht irreduzibel ist.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper. Betrachte die durch

definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.

Lösung

Wir berechnen einige Monome in und . Es ist

Dies sind Polynome, in denen nur die Potenzen vorkommen, also müssen sie linear abhängig sein. Eine lineare Relation ist durch

gegeben.


 

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.

Lösung

(1) (2). Sei

eine aufsteigende Idealkette in . Wir betrachten die Vereinigung , die wieder ein Ideal in ist. Da noethersch ist, ist endlich erzeugt, d.h. . Da diese in der Vereinigung der Ideale liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein derart geben, dass liegt. Wegen

für muss hier Gleichheit gelten, so dass die Idealkette ab stationär ist.

(2) (1). Sei ein Ideal in . Wir nehmen an, sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette , wobei die alle endlich erzeugt sind. Sei dazu

bereits konstruiert. Da endlich erzeugt ist, aber nicht, ist die Inklusion echt und es gibt ein Element

Dann setzt das Ideal die Idealkette echt aufsteigend fort.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine integre endlich erzeugte -Algebra. Es seien . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt einen -Algebrahomomorphismus .

Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für nicht gilt.

Lösung

Wenn (2) erfüllt ist, so kann man insbesondere schreiben bzw. , d.h. teilt eine Potenz von bzw. gehört zum Radikal von . Wenn dies umgekehrt gilt, so ist eine Einheit in und es gibt einen -Algebrahomomorphismus .

Aus der Radikalzugehörigkeit folgt sofort, dass auf verschwindet, also . Die Umkehrung folgt, für algebraisch abgeschlossen, aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Bei gilt die letzte Umkehrung nicht, wie das Beispiel und in zeigt. hat reell keine Nullstelle, also ist , es ist aber keine Einheit im Polynomring.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Ein Geldfälscher stellt und Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.

Lösung

Wir berechnen die Summen, die man aus den vier Zahlen bilden kann. Dabei gehen wir so vor, dass wir zu einer Summe aus den drei größeren Zahlen ein Vielfaches von dazuaddieren. Die Vielfachen von sind

Von ausgehend erhält man

Von ausgehend erhält man

Von ausgehend erhält man nichts neues. Von ausgehend erhält man

Dazu kommen noch und . Wegen der gehören alle sechs aufeinanderfolgenden Beträge zum Monoid, so dass auch alle folgenden Zahlen dazugehören. Die kleinste Zahl, die nicht dazugehört, ist die , da sie in der Liste nicht auftaucht. Somit ist die Führungszahl. Die Multiplizität ist die kleinste Zahl, also , und die Einbettungszahl ist , da keine der vier Zahlen überflüssig ist. Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken, die Lücken sind

Der Singularitätsgrad ist also , das sind die Beträge, die er nicht begleichen kann.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (einschließlich ihrer Multiplizitäten) im Nullpunkt der ebenen algebraischen Kurve

Lösung

Die Multiplizität ist der Grad der homogenen Komponenten vom kleinsten Grad, also . Zur Bestimmung der Tangenten muss man in Linearfaktoren zerlegen. Es ist

Für den hinteren Faktor gilt

Als Tangentengleichungen ergeben sich also (die -Achse mit der Multiplizität ), , und (jeweils mit einfacher Multiplizität).


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

Lösung

Sei das beschreibende Polynom. Die partiellen Ableitungen sind

Wir setzen beide Polynome gleich null. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich und daher

In der ersten Gleichung können wir ausklammern, welches nicht null ist, so dass sein muss, also ist ebenfalls . Für wird die Kurvengleichung zu

Bei ergibt sich der Wert

so dass ein Punkt der Kurve ist. Bei ergibt sich hingegen

so dass dies kein Punkt der Kurve ist. Die einzige Singularität der Kurve ist also .


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

(über einem Körper der Charakteristik ) eine nichtkonstante Potenzreihenlösung im Nullpunkt bis zum dritten Grad.

Lösung

Wir machen den Ansatz , setzen dies in die Gleichung

ein und berechnen sukzessive die Koeffizienten durch Vergleich der Koeffizienten für .

Daher ist der Koeffizient zu

schon gleich .

Die Anfangsglieder der Potenzreihe sind also


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass es eine Überdeckung mit zwei affinen, in offenen ebenen Kurven und gibt.

Lösung

Es sei ein Punkt, der nicht auf liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da algebraisch abgeschlossen ist. Es seien und zwei verschiedene projektive Geraden durch . Die (offenen) Komplemente, also und sind isomorph zu affinen Ebenen. Daher sind sowohl als auch affine ebene Kurven, die beide in offen sind. Da der einzige Schnittpunkt der beiden Geraden ist, gilt . Daher ist und somit .


 

Aufgabe * (9 (4+3+2) Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Wir betrachten die beiden Kurven und mit , ungerade.

a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt .

b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in .

c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.

Lösung

a) Die Schnittmultiplizität ist die -Vektorraum-Dimension von . Im lokalen Ring gilt und ist eine Einheit. Daher gelten die Gleichheiten

Somit ist

und dessen Dimension ist .

b) Die partiellen Ableitungen von sind . Im Punkt ist dies . Daran sieht man, dass ein glatter Punkt vorliegt, dessen Tangente durch den Richtungsvektor gegeben ist. Entsprechendes gilt für . Daher schneiden sich die beiden Kurven in transversal und somit ist nach Lemma 26.7 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) die Schnittmultiplizität gleich .

c) Die Homogenisierungen der Kurvengleichungen sind und . Die unendlich fernen Schnittpunkte liegen in , also auf . Dies ergibt für beide Kurven die Bedingung und den zusätzlichen Punkt .