Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 11/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Skizziere die Graphen der Funktionen $x$ und $y$ auf $V(xy)$.
}
{Man mache sich klar, dass das Produkt $xy$ die Nullfunktion ist.} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene $\mathbb A^2_K$ den
\definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{{ \left\{ (x, \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (\cos (x), \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \Q \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid x \in \Z/(5) \right\} }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ {\mathbb C} [X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die in der metrischen Topologie offen und nicht leer sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F|_{ U}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Nullfunktion. Zeige, dass dann $F$ das Nullpolynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Radikalideale}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
$V( {\mathfrak a} )$ und $V( {\mathfrak b} )$ genau dann
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{}
sind, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation gibt, die die beiden Ideale ineinander überführt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise Korollar 11.3 direkt aus Satz 10.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $R$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen über $K$. Wir wollen einen alternativen Beweis einsehen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id} \, (V(J))
}
{ = }{ \operatorname{rad} \, (J)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes Ideal $J$ in $R$ ist, der auf
Korollar 11.3
aufbaut. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \operatorname{Id}\,(V(J))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte den Ring $R[T]$ und zeige, dass das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J'
}
{ =} { (J, 1 -f \cdot T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
trivial ist. Schließe daraus, dass $f$ im Radikal von $J$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachte die dadurch definierte
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }
} { (x_1 , \ldots , x_n) } { (x_1 , \ldots , x_n, F(x_1 , \ldots , x_n))
} {,}
die eine Bijektion des
\definitionsverweis {affinen Raumes}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von $F$ definiert. Zu einer
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V'
}
{ = }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man zeige, dass $V'$ ebenfalls affin-algebraisch ist und man gebe ein beschreibendes Ideal an. Zeige, dass $V$ genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn $V'$ irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V,W
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {affin-algebra\-ische Mengen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorausgesetzt. Man definiere einen
$K$-\definitionsverweis {Algebra\-homomorphismus}{}{}
zwischen den beiden
\definitionsverweis {Koordinatenringen}{}{}
$R(V)$ und $R(W)$ und beschreibe dessen wichtigste Eigenschaften. Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Mengen, die nicht ineinander enthalten sind, von denen aber die Koordinatenringe isomorph sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die Hyperbel
\mathl{V(xy-1)}{} über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(11)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme das Inverse von $4x^3$ im zugehörigen Koordinatenring.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
\mathdisp {V(x^2+y^2-2) \text{ und } V(x^2+2y^2-1)} { }
über dem Körper $\Z/( 7 )$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \supseteq }{ \Z/( 7 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über $K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathbed {f_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Elementen in $R$. Es sei angenommen, dass die $f_j$ zusammen das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie
sei
\mathbed {f_j} {}
{j \in J_0 \subseteq J} {}
{} {} {} {,}
gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.
}
{} {}