Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 11

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Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die Graphen der Funktionen und auf .

Man mache sich klar, dass das Produkt die Nullfunktion ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene den Zariski-Abschluss.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei und sei eine Teilmenge, die in der metrischen Topologie offen und nicht leer sei. Es sei die Nullfunktion. Zeige, dass dann das Nullpolynom ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien zwei Radikalideale. Zeige, dass die Nullstellengebilde und genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation gibt, die die beiden Ideale ineinander überführt.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise Korollar 11.3 direkt aus Satz 10.10.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und der Polynomring in Variablen über . Wir wollen einen alternativen Beweis einsehen, dass für jedes Ideal in ist, der auf Korollar 11.3 aufbaut. Sei . Betrachte den Ring und zeige, dass das Ideal

trivial ist. Schließe daraus, dass im Radikal von liegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei und betrachte die dadurch definierte polynomiale Abbildung

die eine Bijektion des affinen Raumes mit dem Graphen von definiert. Zu einer affin-algebraischen Menge betrachten wir das Bild . Man zeige, dass ebenfalls affin-algebraisch ist und man gebe ein beschreibendes Ideal an. Zeige, dass genau dann irreduzibel ist, wenn irreduzibel ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und seien zwei affin-algebraische Mengen. Es sei vorausgesetzt. Man definiere einen -Algebrahomomorphismus zwischen den beiden Koordinatenringen und und beschreibe dessen wichtigste Eigenschaften. Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Mengen, die nicht ineinander enthalten sind, von denen aber die Koordinatenringe isomorph sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Hyperbel über dem Körper . Bestimme das Inverse von im zugehörigen Koordinatenring.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

über dem Körper . Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper , über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei , , eine Familie von Elementen in . Es sei angenommen, dass die zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie , gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.