Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 13/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei $R$ eine
\definitionsverweis {reduzierte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.}
Beweise den \stichwort {Identitätssatz} {} in der folgenden Gestalt: Wenn für
\mathl{f,g \in R}{} gilt, dass
\mathl{f(P)=g(P)}{} ist für alle
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{,} so ist
\mathl{f=g}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Man definiert die
\definitionswortenp{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {R_S} { }
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ \frac{r}{s} \mid r \in R , \, s \in S \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {\frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ mit } trs' =tr's \text{ gibt}} { , }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_S$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_S$ eine Ringstruktur und definiere einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathl{R \rightarrow R_S}{.}
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben dürfen Sie, wenn Sie wollen, bei Nenneraufnahmen annehmen, dass Integritätsbereiche vorliegen.
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mathl{S \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
derart, dass $\varphi(s)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $A$ ist für alle
\mathl{s \in S}{.} Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R_S} {A
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des saturierten multiplikativen Systems.
Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $S$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {saturiert}{,} wenn folgendes gilt: Ist $g \in R$ und gibt es ein $f \in S$, das von $g$ geteilt wird, so ist auch $g \in S$.
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien $A,B$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mathl{\varphi:A \rightarrow B}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus
}{}{.}
Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(B^\times)}{} der Einheitengruppe ein
\definitionsverweis {saturiertes multiplikatives System}{}{}
in $A$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ kommutative $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei
\mathl{f \in R}{} und
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} sei ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
Zeige, dass die Spektrumsabbildung $\varphi^*$ genau dann durch $D(f)$ faktorisiert, wenn $\varphi(f)$ eine Einheit in $S$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{f \in R}{} mit zugehöriger
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$. Beweise die
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f
}
{ \cong} { R[T]/(Tf- 1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte zwei parallele Geraden $V$ und das Achsenkreuz $W$. Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen $V$ und $W$ (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Betrachte die durch
\mathl{Y^2=X^3+X^2}{} gegebene Kurve $C$ (siehe Beispiel 6.3) und die offene Menge
\mathl{U=D(X) \subseteq C}{.} Finde eine abgeschlossene Realisierung von $U$ in ${ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }$ und zeige, dass es auch eine solche Realisierung in ${\mathbb A}^{2}_{K}$ gibt. Skizziere die Bildkurve unter der Abbildung
\maabbeledisp {} {U} {{\mathbb A}^{2}_{K}
} {(x,y)} { \left( \frac{1}{x}, y \right)
} {.}
Ist $U$ isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ein \definitionsverweis {zusammenhängender Ring}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{f \in R}{.} Es sei $f$ sowohl \definitionsverweis {nilpotent}{}{}
als auch \definitionsverweis {idempotent}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{f=0}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
\mathl{R \times S}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{R \times S}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathl{R \times 0}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
der nicht leer und nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
sei. Zeige, dass es dann eine stetige Abbildung
\mathl{f:X \rightarrow \R}{,}
\mathl{f\neq 0,1}{,}
\zusatzklammer {$\R$ sei mit der metrischen Topologie versehen} {} {}
gibt, die
\definitionsverweis {idempotent}{}{}
im Ring der stetigen Funktionen auf $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
und die
\definitionsverweis {idempotenten}{}{}
Elemente in
\mathl{\Z/(175)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven
\mathdisp {V(X^2+Y^2-1) \text{ und } V(Y-X^2)} { . }
Identifiziere den Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[X,Y]/( X^2+Y^2-1,Y-X^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
und beschreibe die Restklassenabbildung
\mathl{K[X,Y] \rightarrow R}{} mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in
\mathl{K[X,Y]}{} für sämtliche
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
des Produktringes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} endlich viele Punkte in der affinen Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$. Es seien
\mathl{a_1, \ldots , a_n \in K}{} beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{F \in K[X,Y]}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P_i)
}
{ = }{a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{i=1, \ldots , n}{} gibt.
}
{} {}