Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 13

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Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine reduzierte -Algebra von endlichem Typ. Beweise den Identitätssatz in der folgenden Gestalt: Wenn für gilt, dass ist für alle , so ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst die Menge der formalen Brüche mit Nenner in , also

Zeige, dass durch

eine Äquivalenzrelation auf definiert ist. Wir bezeichnen mit die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus .


In den folgenden Aufgaben dürfen Sie, wenn Sie wollen, bei Nenneraufnahmen annehmen, dass Integritätsbereiche vorliegen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und kommutative Ringe und sei ein multiplikatives System. Es sei

ein Ringhomomorphismus derart, dass eine Einheit in ist für alle . Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

der fortsetzt.


Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des saturierten multiplikativen Systems.

Ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist und gibt es ein , das von geteilt wird, so ist auch .


Aufgabe (2 Punkte)

Seien kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und kommutative -Algebren von endlichem Typ. Es sei und sei ein -Algebrahomomorphismus Zeige, dass die Spektrumsabbildung genau dann durch faktorisiert, wenn eine Einheit in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei mit zugehöriger Nenneraufnahme . Beweise die -Algebraisomorphie


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte zwei parallele Geraden und das Achsenkreuz . Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen und (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung?


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die durch gegebene Kurve (siehe Beispiel 6.3) und die offene Menge . Finde eine abgeschlossene Realisierung von in und zeige, dass es auch eine solche Realisierung in gibt. Skizziere die Bildkurve unter der Abbildung

Ist isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden?


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass ein Integritätsbereich ein zusammenhängender Ring ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei ein kommutativer Ring und sei . Es sei sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Seien und kommutative Ringe und sei der Produktring . Zeige, dass die Teilmenge ein Hauptideal ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein topologischer Raum, der nicht leer und nicht zusammenhängend sei. Zeige, dass es dann eine stetige Abbildung , , ( sei mit der metrischen Topologie versehen) gibt, die idempotent im Ring der stetigen Funktionen auf ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die nilpotenten und die idempotenten Elemente in .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven

Identifiziere den Restklassenring

mit einem Produktring und beschreibe die Restklassenabbildung mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in für sämtliche idempotenten Elemente des Produktringes.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und seien endlich viele Punkte in der affinen Ebene . Es seien beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom mit für alle gibt.