Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 14/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_e
}
{ \cong} { R/(1-e)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{(Dies zeigt erneut, dass $D(e)$ offen und abgeschlossen ist.)} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und betrachte die affine Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$. Es sei
\mathl{P \in {\mathbb A}^{2}_{K}}{} ein Punkt und
\mathl{U= {\mathbb A}^{2}_{K} \setminus \{P\}}{} das offene Komplement davon. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ =} { K[X,Y]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{(Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den \stichwort {Riemannschen Hebbarkeitssatz} {.})} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M_i$,
\mathl{i \in \N}{,} seien $R$-Moduln mit fixierten
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {M_{i+1}
} {.}
Die Sequenz
\mathdisp {\ldots \longrightarrow M_i \longrightarrow M_{i+1} \longrightarrow M_{i+2} \longrightarrow M_{i+3} \longrightarrow \ldots} { }
heißt
\definitionswortenp{exakt}{,} wenn für alle $i$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Kern} \,(\varphi_{i})
}
{ = }{ \operatorname{Bild} \, (\varphi_{i-1})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der
Definition 10.2 in der Vorlesung
übereinstimmt.
} {Es sei nun
\mathl{R= K}{} ein Körper, die $M_i$ seien endlich erzeugt,
\mathl{M_0 = 0}{} und alle
\mathl{M_i =0}{} für
\mathl{i \geq n}{} für ein gewisses $n$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \operatorname{dim}_K M_i
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.
\aufzaehlungdrei{R ist
\definitionsverweis {reduziert}{}{.}
}{Für jedes
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{\mathfrak p}{} ist $R_\mathfrak p$ reduziert.
}{Für jedes
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
\mathl{\mathfrak m}{} ist $R_\mathfrak m$ reduziert.
}
}
{Bemerkung: Man sagt dann auch, dass Reduziertheit eine lokale Eigenschaft ist.
Geben sie ein Beispiel für einen kommutativen Ring, der nicht integer ist, dessen Lokalisierungen an Primidealen aber alle integer sind.} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale, \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-Algebra. Zeige, dass dann $A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von $K$ ist.
}
{} {Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass es in $A$ nur endlich viele Primideale gibt.}
\inputaufgabe
{5}
{
Beschreibe die Menge $M$ aller
\mathl{2 \times 3}{-}Matrizen mit Rang $\leq 1$ über einem Körper $K$ als $K$-Spektrum einer geeigneten $K$-Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von $M$ und einer offenen Menge des $\mathbb A^4_K$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V(X^2+Y^2-1) \cap V((X-3)^2 +Y^2+Z^2-7)
}
{ \subseteq} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man den
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
von $C$ als
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
eines
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
in zwei Variablen schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Betrachte das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left( U^5-V^3, U^{11}-W^3,V^{11}-W^5 \right) }
}
{ \subseteq} { K[U,V,W]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das zugehörige Nullstellengebilde
\mathl{Z=V({\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }}{.} Zeige, dass
\mathl{W-U^2V}{} zum Radikal von ${\mathfrak a}$ gehört. Zeige damit, dass $Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.
}
{} {Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primidealen ist, die es umfassen.}
In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.
Ein \definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$
in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
heißt \definitionswort {minimales Primideal}{}, wenn es kein Primideal ${\mathfrak q}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \subset }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $F \subseteq R$ nennt man einen \definitionswort {Ultrafilter}{,} wenn $0 \not\in F$ ist und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ ein multiplikatives System mit $0 \not\in S$. Zeige, dass $S$ in einem \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} enthalten ist.
}
{(Man benutze das Lemma von Zorn.)} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \notin }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $F$ genau dann ein
\definitionsverweis {Ultrafilter}{}{}
ist, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \notin }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg^n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{F\subset R}{} ein
\definitionsverweis {Ultrafilter}{}{.}
Zeige, dass das Komplement von $F$ ein
\definitionsverweis {minimales Primideal}{}{}
in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein kommutativer, \definitionsverweis {reduzierter}{}{} Ring. Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Nullteiler}{}{} in einem \definitionsverweis {minimalen Primideal}{}{} enthalten ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die
\definitionsverweis {minimalen Primideale}{}{}
von $R$ den irreduziblen Komponenten von
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} entsprechen.
}
{} {}