Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 14

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

gibt.

(Dies zeigt erneut, dass offen und abgeschlossen ist.)

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte die affine Ebene . Es sei ein Punkt und das offene Komplement davon. Zeige

(Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den Riemannschen Hebbarkeitssatz.)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und , , seien -Moduln mit fixierten -Modulhomomorphismen

Die Sequenz

heißt exakt, wenn für alle gilt, dass ist.

  1. Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition 10.2 in der Vorlesung übereinstimmt.
  2. Sei nun ein Körper, die seien endlich erzeugt, und alle für für ein gewisses . Zeige, dass


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. R ist reduziert.
  2. Für jedes Primideal ist reduziert.
  3. Für jedes maximale Ideal ist reduziert.

Bemerkung: Man sagt dann auch, dass Reduziertheit eine lokale Eigenschaft ist.

Geben sie ein Beispiel für einen kommutativen Ring, der nicht integer ist, dessen Lokalisierungen an Primidealen aber alle integer sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und eine endlichdimensionale, reduzierte -Algebra. Zeige, dass dann ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ist.

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass es in nur endlich viele Primideale gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe die Menge aller -Matrizen mit Rang über einem Körper als -Spektrum einer geeigneten -Algebra. Zeige, dass es eine Isomorphie zwischen einer (nicht leeren) Zariski-offenen Teilmenge von und einer offenen Menge des gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper der Charakteristik . Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar

Zeige, dass man den Koordinatenring von als Restklassenring eines Polynomrings in zwei Variablen schreiben kann.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte das Ideal

und das zugehörige Nullstellengebilde . Zeige, dass zum Radikal von gehört. Zeige damit, dass isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primidealen ist, die es umfassen.

In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.

Ein Primideal in einem kommutativen Ring heißt minimales Primideal, wenn es kein Primideal mit gibt.


Sei ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System nennt man einen Ultrafilter, wenn ist und wenn maximal mit dieser Eigenschaft ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System mit . Zeige, dass in einem Ultrafilter enthalten ist.

(Man benutze das Lemma von Zorn.)

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System mit . Zeige, dass genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem , , ein und eine natürliche Zahl gibt mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ein minimales Primideal in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer, reduzierter Ring. Zeige, dass jeder Nullteiler in einem minimalen Primideal enthalten ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die minimalen Primideale von den irreduziblen Komponenten von entsprechen.