Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 2

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Gleichung

x^{2} + y^{2} + x y = 1

für die Körper $K = 𝔽_{2}$ , $𝔽_{4}$ und $𝔽_{8}$ .

Man kann für die Körper diese Darstellungen verwenden.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen

x^{3} + y^{2} = 2 und 2 x y = 3

für die Körper $K = ℤ / (3)$ , $ℤ / (5)$ und $ℤ / (7)$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte Gleichungen der Form

y^{2} = G (x) mit G (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

über $ℝ$ . Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten $a, b, c \in {1, - 1, 0}$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven

C = V (x^{2} + 2 y^{2} + 3 x y + x - 2) und L = V (4 x + 3 y - 5) .

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte in $𝔸_{K}^{3}$ die beiden Ebenen

E_{1} = V (3 x + 4 y + 5 z) und E_{2} = V (2 x - y + 3 z) .

Parametrisiere den Schnitt $E_{1} \cap E_{2}$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass zu einem Punkt $P = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in 𝔸_{K}^{n}$ das zugehörige Ideal

(X_{1} - a_{1}, X_{2} - a_{2}, \dots, X_{n} - a_{n})

maximal ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal $𝔞 \subseteq ℝ [X, Y, Z]$ , dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte

(2, 3, 4), (1, 1 / 5, 0), (0, 0, 1), (- 1, - 2, \sqrt{3}) \in 𝔸_{ℝ}^{3}

sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $S$ das Nullstellengebilde in $𝔸_{K}^{3}$ , das durch die Gleichung

x^{2} + y^{2} = z^{2}

gegeben ist. Der Schnitt von $S$ mit einer Ebene $E$ ist eine Kurve und wird in $E$ durch eine Gleichung in zwei (geeigneten) Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen

E_{1} = V (x), E_{2} = V (z - 1), E_{3} = V (x + 2 y + 3 z), E_{4} = V (3 x - 2 z) .