Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 2/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme alle Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+xy
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die Körper
\mathl{K= \mathbb F_2}{,} $\mathbb F_4$ und $\mathbb F_8$.
}
{Man kann für die Körper diese Darstellungen verwenden.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen
\mathdisp {x^3+y^2 = 2 \text{ und } 2xy =3} { }
für die Körper
\mathl{K= \Z/(3)}{,} $\Z/(5)$ und $\Z/(7)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte Gleichungen der Form
\mathdisp {y^2=G(x) \text{ mit } G(x) = x^3+ax^2+bx+c} { }
über $\R$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten
\mathl{a,b,c \in \{1,-1,0\}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven
\mathdisp {C=V(x^2+2y^2+3xy+x-2) \text{ und } L=V(4x+3y-5)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }}{} die beiden Ebenen
\mathdisp {E_1=V(3x+4y+5z) \text{ und } E_2 =V(2x-y+3z)} { . }
Parametrisiere den Schnitt
\mathl{E_1 \cap E_2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige Ideal
\mathdisp {(X_1-a_1, X_2-a_2 , \ldots , X_n-a_n)} { }
\definitionsverweis {maximal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme Idealerzeuger für ein Ideal
\mathl{\mathfrak a \subseteq \R [X,Y,Z]}{,} dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte
\mathdisp {(2,3,4), (1,1/5,0), (0,0,1), (-1,-2,\sqrt{3}) \in { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } }} { }
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $S$ das Nullstellengebilde in ${ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }$, das durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Der Schnitt von $S$ mit einer Ebene $E$ ist eine Kurve und wird in $E$ durch eine Gleichung in zwei
\zusatzklammer {geeigneten} {} {}
Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen
\mathdisp {E_1=V( x),\, E_2=V(z-1), \, E_3 =V(x+2y+3z ),\, E_4 = V(3x-2z)} { . }
}
{} {}