Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 20/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei \mathind { R_i \subseteq K } { i \in I }{,} eine Familie von \definitionsverweis {normalen}{}{} Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} R_i$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann \definitionsverweis {normal}{}{} ist, wenn er mit seiner \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Es sei angenommen, dass die \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} von $R$ gleich dem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für das von $f$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \cap (f)S
}
{ =} { (f)R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass dann auch der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $R[X]$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mathl{a \in R}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^2-a}{}
\definitionsverweis {prim}{}{}
in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
äquivalent sein.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ ist die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ normal. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ normal.}
}
{(Man sagt dann, dass normal eine \stichwort {lokale Eigenschaft} {} ist.)} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ ein \definitionsverweis {torsionsfreies}{}{} Monoid. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{} $\Gamma(M)$ torsionsfrei ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ ein kommutative Gruppe. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Torsionsfreiheit}{}{}
von $M$ äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus
\mathl{m \in M}{} und
\mathl{rm=0}{} für ein positives
\mathl{r \in \N}{} folgt stets
\mathl{m=0}{}. Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein Monoid nicht gelten muss.
}
{(mit dieser Eigenschaft wird üblicherweise die Torsionsfreiheit einer Gruppe definiert)} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \Gamma(M)
}
{ \cong }{ \Z^n
}
{ = }{ M
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
und betrachte die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^*
}
{ =} { { \left\{ \varphi:\Gamma(M) \longrightarrow \Z \mid \varphi(M) \subseteq \N \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M^*$ ein normales Untermonoid von
\mathl{\operatorname{Hom} { \left( \Z^n, \Z \right) }}{} ist.
}
{(dieses Monoid nennt man das \stichwort {duale Monoid} {} zu $M$)} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte Beispiel *****. Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen $\varphi_1,\varphi_2$ nach $\Z$, durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme den Kokern des Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} {\Gamma(M) } { \Z^2 } {m} { (\varphi_1(m),\varphi_2(m)) } {.}
}
{(Diesen Kokern nennt man auch die \stichwort {Divisorenklassengruppe} {} des Monoidringes.)} {}