Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 20

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und sei $S \subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme $R_{S}$ normal ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $R_{i} \subseteq K, i \in I$ , eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $⋂_{i \in I} R_{i}$ normal ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass $R$ genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von $R$ gleich dem Quotientenkörper $Q (R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein Körper ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $R \subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei $f \in R$ . Zeige, dass für das von $f$ erzeugte Hauptideal gilt:

R \cap (f) S = (f) R .

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring $R [X]$ normal ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $a \in R$ . Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom $X^{2} - a$ prim in $R [X]$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper $Q (R)$ . Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

$R$ ist normal.
Für jedes Primideal $𝔭$ ist die Lokalisierung $R_{𝔭}$ normal.
Für jedes maximale Ideal $𝔪$ ist die Lokalisierung $R_{𝔪}$ normal.

(Man sagt dann, dass normal eine lokale Eigenschaft ist.)

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $M$ ein torsionsfreies Monoid. Zeige, dass dann auch die Differenzengruppe $Γ (M)$ torsionsfrei ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $M$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass die Torsionsfreiheit von $M$ äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus $m \in M$ und $r m = 0$ für ein positives $r \in ℕ$ folgt stets $m = 0$ . Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein Monoid nicht gelten muss.

(mit dieser Eigenschaft wird üblicherweise die Torsionsfreiheit einer Gruppe definiert)

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $M \subseteq Γ (M) ≅ ℤ^{n}$ ein Monoid und betrachte die Menge

M^{*} = {φ : Γ (M) ⟶ ℤ ∣ φ (M) \subseteq ℕ} .

Zeige, dass $M^{*}$ ein normales Untermonoid von $Hom (ℤ^{n}, ℤ)$ ist.

(dieses Monoid nennt man das duale Monoid zu $M$ )

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte Beispiel 20.11. Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen $φ_{1}, φ_{2}$ nach $ℤ$ , durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme den Kokern des Gruppenhomomorphismus

Γ (M) ⟶ ℤ^{2}, m ⟼ (φ_{1} (m), φ_{2} (m)) .

(Diesen Kokern nennt man auch die Divisorenklassengruppe des Monoidringes.)