Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 23/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei $N$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit
$R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{}
\mathl{L \subseteq M \subseteq N}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Restklassenmoduln}{}{}
durch die
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}M/L
\stackrel{}{\longrightarrow}N/L
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}N/M
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
miteinander in Beziehung stehen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ R[X_1 , \ldots , X_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Polynomring darüber in $m$ Variablen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X_1 , \ldots , X_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ = }{ P_{\geq n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $P_{\geq n}$ das Ideal in $P$ bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad $\geq n$ erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit zwei Idealen
\mathl{{\mathfrak a}, {\mathfrak b} \subseteq R}{.} Es sei
\mathl{S=R/{\mathfrak b}}{} und
\mathl{\tilde{ {\mathfrak a} }= {\mathfrak a}S}{} das Bildideal. Zeige, dass
\mathl{{\mathfrak a}^nS=\tilde{ {\mathfrak a} }^n}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne für das durch die Erzeuger $4$ und $9$ gegebene Monoid
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die in den Abschätzungen von
Lemma 23.6
auftretenden Ausdrücke bis
\mathl{n \leq 6}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne für das durch die Erzeuger
\mathl{5,8,11}{} gegebene Monoid
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die in den Abschätzungen von
Lemma 23.6
auftretenden Ausdrücke bis
\mathl{n \leq 5}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen
\mathl{f,g \in R}{} gelte, dass $f$ ein Teiler von $g$ ist oder dass $g$ ein Teiler von $f$ ist. Es sei $R$ noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben wird die Krull-Dimension eines kommutativen Ringes verwendet. Da wir uns hauptsächlich für Kurven interessieren, denen eindimensionale Ringe entsprechen, werden wir keine systematische Dimensionstheorie entwickeln.
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Eine Kette aus
\definitionsverweis {Primidealen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_0
}
{ \subset} { {\mathfrak p}_1
}
{ \subset} { \ldots
}
{ \subset} { {\mathfrak p}_n
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man \definitionswort {Primidealkette der Länge}{} $n$
\zusatzklammer {es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale} {} {.}
Die \definitionswort {Dimension}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Krulldimension}{}} {} {}
von $R$ ist das
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{dim} { \left( R \right) }}{} bezeichnet.
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,} der kein \definitionsverweis {Körper}{}{} sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} von $R$ gleich eins ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass $R$ die
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
zwei besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungfuenf{$R$ hat
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
$0$.
}{$R$ ist ein
\definitionsverweis {artinscher Ring}{}{.}
}{$R$ besitzt endlich viele
\definitionsverweis {Primideale}{}{,}
die alle
\definitionsverweis {maximal}{}{}
sind.
}{Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$.
}{Die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
von $R$ ist ein Produkt von Körpern.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
von endlicher
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
$d$. Zeige, dass die Krulldimension des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
$R[X]$ mindestens
\mathl{d+1}{} ist.
}
{(Bemerkung: über einem noetherschen Grundring erhöht sich die Dimension beim Übergang zum Polynomring genau um eins, dies ist aber schwieriger zu beweisen.)} {}