Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 23

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Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein -Modul mit -Untermoduln . Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

miteinander in Beziehung stehen.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und der Polynomring darüber in Variablen. Es sei das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass ist, wobei das Ideal in bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad erzeugt wird.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring mit zwei Idealen . Es sei und das Bildideal. Zeige, dass ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne für das durch die Erzeuger und gegebene Monoid die in den Abschätzungen von Lemma 23.6 auftretenden Ausdrücke bis .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne für das durch die Erzeuger gegebene Monoid die in den Abschätzungen von Lemma 23.6 auftretenden Ausdrücke bis .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen gelte, dass ein Teiler von ist oder dass ein Teiler von ist. Es sei noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring ist.


In den folgenden Aufgaben wird die Krull-Dimension eines kommutativen Ringes verwendet. Da wir uns hauptsächlich für Kurven interessieren, denen eindimensionale Ringe entsprechen, werden wir keine systematische Dimensionstheorie entwickeln.

Sei ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

nennt man Primidealkette der Länge (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit bezeichnet.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von gleich eins ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass die Krulldimension zwei besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. hat Krulldimension .
  2. ist ein artinscher Ring.
  3. besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
  4. Es gibt eine natürliche Zahl mit für jedes maximale Ideal .
  5. Die Reduktion von ist ein Produkt von Körpern.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension . Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings mindestens ist.

(Bemerkung: über einem noetherschen Grundring erhöht sich die Dimension beim Übergang zum Polynomring genau um eins, dies ist aber schwieriger zu beweisen.)