Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 24/latex
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ \R[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${\mathbb C}$ nicht möglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(X^2-Y^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der in
Beispiel 24.2
besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ -1,0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte das Achsenkreuz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(xy)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den zum Nullpunkt gehörigen
\definitionsverweis {lokalen Ring}{}{}
$R$ mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$. Beschreibe explizit eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
für die
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
$R/{\mathfrak m}^n$ und bestimme die
\definitionsverweis {Dimensionen}{}{}
davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{,}
das in genau einem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/{\mathfrak a}
}
{ \cong }{ R_{\mathfrak m}/{\mathfrak a} R_{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal ${\mathfrak m}$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/{\mathfrak m}^n
}
{ \cong }{ R_{\mathfrak m}/{\mathfrak m}^n R_{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes $n$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K [ \![ T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.}
Man gebe die inverse Potenzreihe zu
\mathl{1-T}{} an.
}
{Es geht also um eine Potenzreihe $F$ mit $F \cdot(1-T)=1$.} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (T)
}
{ \subseteq }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zum Nullpunkt gehörige
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[T]_{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Definiere einen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { R } { K [ \![ T]\! ]
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(T)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{K [ \![ T]\! ]}{} den
\definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe \mathkor {} {(K[X])[ \![Y]\! ]} {und} {(K [ \![ Y]\! ])[X]} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
kommutativer Ring. Man zeige, dass
\mathl{R [[ T_1, \ldots , T_{ n }]]}{} noethersch ist.
}
{} {Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} haben, wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält.
}
{} {}