Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 24

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Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über nicht möglich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Kurve mit der in Beispiel ***** besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte .


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte das Achsenkreuz und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring mit maximalem Ideal . Beschreibe explizit eine -Basis für die Restklassenringe und bestimme die Dimensionen davon.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie für jedes gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Körper und der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu an.

Es geht also um eine Potenzreihe mit .

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Körper, das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung . Definiere einen -Algebrahomomorphismus

mit , wobei den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine formale Potenzreihe über , die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe und .


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein noetherscher kommutativer Ring. Man zeige, dass noethersch ist.

Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein lokaler Ring mit Restekörper . Zeige, dass und genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn einen Körper enthält.