Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Tangente unter Parametrisierung/t ist 2/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir betrachten die Kurve $V(y^2-x^2-x^3)$ mit der Parametrisierung

$(\phi (t),\psi (t))=(t^2-1,t(t^2-1))=(x,y).$

Die partiellen Ableitungen von $F$ sind

$\frac{\partial F}{\partial x}=-2x-3x^2\text{ und }\frac{\partial F}{\partial y}=2y.$

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist

$(\frac{\partial \phi }{\partial t},\frac{\partial \psi }{\partial t})=(2t,3t^2-1).$

Damit ist in der Tat (mit $P=(\phi (t),\psi (t))$)

$\begin{array}{cc}(\frac{\partial F}{\partial x}(P),\frac{\partial F}{\partial y}(P))\left(\begin{array}{c}2t\\ 3t^2-1\end{array}\right)& =(-2(t^2-1)-3{(t^2-1)}^2,2(t^3-t))\left(\begin{array}{c}2t\\ 3t^2-1\end{array}\right)\\ & =-4t(t^2-1)-6t{(t^2-1)}^2+2(t^3-t)(3t^2-1)\\ & =-4t^3+4t-6t^5+12t^3-6t+6t^5-2t^3-6t^3+2t\\ & =0.\end{array}$

Für  $t=2$  ergibt sich beispielsweise der Bildpunkt  $P=(3,6)$.  Für diesen Wert ist der Ableitungsvektor gleich $(4,11)$. Die partiellen Ableitungen an $P$ ergeben den Gradienten $(-33,12)$, der senkrecht zum Tangentialvektor steht. Die Tangente selbst wird durch

$\{(3,6)+s(4,11)\mid s\in K\}\text{ oder als }V(-11x+4y+9)$

beschrieben.