Wir knüpfen an
Beispiel
an, d.h. wir betrachten die Kurve
mit der
Parametrisierung
-
![{\displaystyle {}(\varphi (t),\psi (t))=\left(t^{2}-1,\,t{\left(t^{2}-1\right)}\right)=(x,y)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb8cccdaaeb70006a42e56825fa18c2abf84981)
Die partiellen Ableitungen von
sind
-
Die
Jacobi-Matrix
der Parametrisierung ist
-
![{\displaystyle {}{\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}},{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)}=\left(2t,\,3t^{2}-1\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e098cae52cd699414297b755233559e45c49c784)
Damit ist in der Tat
(mit
)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(P),{\frac {\partial F}{\partial y}}(P)\right)}{\begin{pmatrix}2t\\3t^{2}-1\end{pmatrix}}&={\left(-2{\left(t^{2}-1\right)}-3{\left(t^{2}-1\right)}^{2},2{\left(t^{3}-t\right)}\right)}{\begin{pmatrix}2t\\3t^{2}-1\end{pmatrix}}\\&=-4t(t^{2}-1)-6t{\left(t^{2}-1\right)}^{2}+2{\left(t^{3}-t\right)}{\left(3t^{2}-1\right)}\\&=-4t^{3}+4t-6t^{5}+12t^{3}-6t+6t^{5}-2t^{3}-6t^{3}+2t\\&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86b052b8c6fd57a8fea3aabb07bacaa9bbc2a89)
Für
ergibt sich beispielsweise der Bildpunkt
.
Für diesen Wert ist der Ableitungsvektor gleich
. Die partiellen Ableitungen an
ergeben den Gradienten
, der senkrecht zum Tangentialvektor steht. Die Tangente selbst wird durch
-
beschrieben.