Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Tangente unter Parametrisierung/t ist 2/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir betrachten die Kurve ${}V(y^{2}-x^{2}-x^{3})$ mit der Parametrisierung

${}(\varphi (t),\psi (t))=\left(t^{2}-1,\,t{\left(t^{2}-1\right)}\right)=(x,y)\,.$

Die partiellen Ableitungen von ${}F$ sind

${\frac {\partial F}{\partial x}}=-2x-3x^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial y}}=2y.$

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist

${}{\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}},{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)}=\left(2t,\,3t^{2}-1\right)\,.$

Damit ist in der Tat (mit $P=(\varphi (t),\psi (t))$)

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(P),{\frac {\partial F}{\partial y}}(P)\right)}{\begin{pmatrix}2t\\3t^{2}-1\end{pmatrix}}&={\left(-2{\left(t^{2}-1\right)}-3{\left(t^{2}-1\right)}^{2},2{\left(t^{3}-t\right)}\right)}{\begin{pmatrix}2t\\3t^{2}-1\end{pmatrix}}\\&=-4t(t^{2}-1)-6t{\left(t^{2}-1\right)}^{2}+2{\left(t^{3}-t\right)}{\left(3t^{2}-1\right)}\\&=-4t^{3}+4t-6t^{5}+12t^{3}-6t+6t^{5}-2t^{3}-6t^{3}+2t\\&=0.\end{aligned}}$

Für ${}t=2$ ergibt sich beispielsweise der Bildpunkt ${}P=(3,6)$. Für diesen Wert ist der Ableitungsvektor gleich ${}(4,11)$. Die partiellen Ableitungen an ${}P$ ergeben den Gradienten ${}(-33,12)$, der senkrecht zum Tangentialvektor steht. Die Tangente selbst wird durch

${\left\{(3,6)+s(4,11)\mid s\in K\right\}}{\text{ oder als }}V(-11x+4y+9)$

beschrieben.