Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 29/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{ n }_{ K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{.}
Zeige, dass es eine offene affine Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{ n }_{ K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{m+1}{}
\definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
\mathl{F_0 , \ldots , F_m}{} in
\mathl{n+1}{} Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad $d$ besitzen. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{ n }_{ K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, auf der die Polynome einen Morphismus
\mathdisp {{\mathbb P}^{ n }_{ K} \supseteq U \longrightarrow {\mathbb P}^{ m }_{ K}} { }
definieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Definiere zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Potenzieren
\mathl{x \mapsto x^n}{} als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (a_0 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{ n }_{ K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{.}
Zeige, dass die Projektion des ${\mathbb P}^{ n }_{ K}$ auf ${\mathbb P}^{n-1}_{K}$ mit Zentrum $P$ durch die Matrix
\mathdisp {} { }
gegeben ist, also durch die Abbildung
\mathdisp {\begin{pmatrix} x_0 \\x_1 \\ \vdots\\x_n \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_0 \\x_1 \\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{} mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungpng {Tschirnhausen_cubic} {png} }
\end{center}
\bildtext {Die Tschirnhausen Kubik} }
\bildlizenz { Tschirnhausen cubic.png } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( X^3+3X^2-Y^2 \right) }}{} gegebene
\definitionswortenp{Tschirnhausen Kubik}{} die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für das durch
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY \right) }}{} definierte
Kartesische Blatt
die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C}}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Lemniscate_of_Bernoulli} {svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Lemniskate von Bernoulli} }
\bildlizenz { Lemniscate of Bernoulli.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die durch
\mathl{V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-X^2+Y^2 \right) }}{} gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2-Z^2X^2+Z^2Y^2 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $X$ eine irreduzible
\definitionsverweis {quasiprojekive Varietät}{}{}
mit Funktionenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien $U$ und
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Teilmengen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ =} { \bigcap_{i \in I} \Gamma (U_i , {\mathcal O} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, wobei der Durchschnitt in $L$ genommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{ n }_{ K}$ der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen
\definitionsverweis {algebraischen Funktionen}{}{}
sind, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{ n }_{ K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{ n }_{ K} } \right) }
}
{ =} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.} {}