Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 29

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Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung derart gibt, dass in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien homogene Polynome in Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

definieren.


Aufgabe (2 Punkte)

Definiere zu jedem das Potenzieren als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des auf mit Zentrum durch die Matrix

gegeben ist, also durch die Abbildung


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.


Die Tschirnhausen Kubik


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die durch gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das durch definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.


Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die durch gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in . Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli

einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper . Es seien und , , offene Teilmengen mit . Zeige, dass

ist, wobei der Durchschnitt in genommen wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und der projektive Raum. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt

Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.