Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man beschreibe zu einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ von endlichem Typ die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Strukturhomomorphismus}{}{} der Algebra gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.} Zeige, dass die Punkte aus
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} den \definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{} in $R$ entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V ( {\mathfrak a} ) }
{ =} { V(\operatorname{rad} \, ( {\mathfrak a} )) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem $K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$-Algebra $R$ wirklich eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{R,S,T}{} kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{} und \maabb {\varphi} {R} {S } {} und \maabb {\psi} {S} {T } {} seien $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{.} Man zeige, dass für die zugehörigen \definitionsverweis {Spektrumsabbildungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^* }
{ =} { \varphi^* \circ \psi^* }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität \maabb {\operatorname{Id}} {R} {R } {} auch $\operatorname{Id}^*$ die Identität ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} $R,S$ \definitionsverweis {von endlichem Typ}{}{} und einer \definitionsverweis {stetigen Abbildung}{}{} zwischen den zugehörigen $K$-\definitionsverweis {Spektren}{}{,} die nicht von einem $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} herrühren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,} und sei
\mathl{F \in R}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {} die zum \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} gehörende \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi^*)^{-1} (0) }
{ =} { V(F) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ mit der \definitionsverweis {Reduktion}{}{}
\mathl{S=R_{\rm red}}{.} Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ \cong} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_1, \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen
\mathdisp {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \text{ und } V({\mathfrak a}) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, sei ${\mathfrak a} \subseteq R$ ein Ideal und sei $X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen
\mathdisp {V( {\mathfrak a}) = \emptyset \text{ und } {\mathfrak a} \text{ ist das Einheitsideal}} { }
und die beiden Aussagen
\mathdisp {V( {\mathfrak a}) = X \text{ und } {\mathfrak a} \text{ ist nilpotent}} { }
zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob $K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,} und sei
\mathl{F \in R}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {} die zum \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} gehörende \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} Zeige, dass $F$ genau dann konstant ist, wenn $\varphi^*$ konstant ist.

}
{Man mache sich dabei auch die unterschiedlichen Bedeutungen von \anfuehrung{konstant}{} klar.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {integren}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{} $R$ und $S$ und einem $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {S } {,} der kein \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} ist, wo aber die induzierte \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabb {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} ein \definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein endlicher injektiver $K$-Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann \maabb {\varphi^*} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$. Es sei eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} der Form \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { (t^2, \psi(t)) } {,} gegeben (mit
\mathl{\psi(t) \in K[t]}{)} Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn $\psi$ die Form hat
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(t) }
{ =} { at^n+\theta(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a\neq 0}{,} $n$ ungerade und $\theta(t)$ ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.

}
{} {}