Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 12

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man beschreibe zu einer kommutativen -Algebra von endlichem Typ die Spektrumsabbildung, die zum Strukturhomomorphismus der Algebra gehört.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus den maximalen Idealen in entsprechen.


Aufgabe

Sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal in die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem -Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen -Algebra wirklich eine Topologie ist.


Aufgabe

Seien kommutative -Algebren von endlichem Typ und und seien -Algebrahomomorphismen. Man zeige, dass für die zugehörigen Spektrumsabbildungen

gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität auch die Identität ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen -Algebren von endlichem Typ und einer stetigen Abbildung zwischen den zugehörigen -Spektren, die nicht von einem -Algebrahomomorphismus herrühren kann.


Aufgabe

Sei ein Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ, und sei . Es sei

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung. Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ mit der Reduktion . Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

gibt.


Aufgabe *

Sei ein Körper und eine endlich erzeugte -Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen


Aufgabe *

Sei ein Körper, eine endlich erzeugte -Algebra, sei ein Ideal und sei . In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

und die beiden Aussagen

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ, und sei . Es sei

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung Zeige, dass genau dann konstant ist, wenn konstant ist.

Man mache sich dabei auch die unterschiedlichen Bedeutungen von „konstant“ klar.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei integren -Algebren von endlichem Typ und und einem -Algebrahomomorphismus , der kein Ringisomorphismus ist, wo aber die induzierte Spektrumsabbildung ein Homöomorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und integre -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein endlicher injektiver -Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann surjektiv ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Es sei eine polynomiale Abbildung der Form

gegeben (mit ) Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Form hat

mit , ungerade und ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.




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