Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 11

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Graphen der Funktionen ${}x$ und ${}y$ auf ${}V(xy)$.

Man mache sich klar, dass das Produkt ${}xy$ die Nullfunktion ist.

Aufgabe

Betrachte die Hyperbel ${}V(xy-1)$ über dem Körper ${}K=\mathbb {Z} /(11)$. Bestimme das Inverse von ${}4x^{3}$ im zugehörigen Koordinatenring.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Elementen in ${}R$. Es sei angenommen, dass die ${}f_{j}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie ${}f_{j}$, ${}j\in J_{0}\subseteq J$ gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.

Aufgabe

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ zwei Radikalideale. Zeige, dass die Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})$ und ${}V({\mathfrak {b}})$ genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation gibt, die die beiden Ideale ineinander überführt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V,W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ seien zwei affin-algebraische Mengen. Es sei ${}V\subseteq W$ vorausgesetzt. Man definiere einen ${}K$- Algebrahomomorphismus zwischen den beiden Koordinatenringen ${}R(V)$ und ${}R(W)$ und beschreibe dessen wichtigste Eigenschaften. Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Mengen, die nicht ineinander enthalten sind, von denen aber die Koordinatenringe isomorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}q$ Elementen und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass der Koordinatenring von ${}V$ nicht gleich ${}K[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(x_{1}^{q}-x_{1},\ldots ,x_{n}^{q}-x_{n})+{\mathfrak {a}}$ sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$. Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar

${}C=V(X^{2}+Y^{2}-1)\cap V((X-3)^{2}+Y^{2}+Z^{2}-7)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,.$

Zeige, dass man den Koordinatenring von ${}C$ als Restklassenring eines Polynomrings in zwei Variablen schreiben kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {C} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und sei ${}U\subseteq \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}$ eine Teilmenge, die in der metrischen Topologie offen und nicht leer sei. Es sei ${}F|_{U}=0$ die Nullfunktion. Zeige, dass dann ${}F$ das Nullpolynom ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise Korollar 11.3 direkt aus Satz 10.10.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}K$. Wir wollen einen alternativen Beweis einsehen, dass ${}\operatorname {Id} \,(V(J))=\operatorname {rad} \,(J)$ für jedes Ideal ${}J$ in ${}R$ ist, der auf Korollar 11.3 aufbaut. Es sei ${}f\in \operatorname {Id} \,(V(J))$. Betrachte den Ring ${}R[T]$ und zeige, dass das Ideal

${}J'=(J,1-f\cdot T)\,$

trivial ist. Schließe daraus, dass ${}f$ im Radikal von ${}J$ liegt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und betrachte die dadurch definierte polynomiale Abbildung

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n},F(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

die eine Bijektion des affinen Raumes mit dem Graphen von ${}F$ definiert. Zu einer affin-algebraischen Menge ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ betrachten wir das Bild ${}V'=\varphi (V)$. Man zeige, dass ${}V'$ ebenfalls affin-algebraisch ist und man gebe ein beschreibendes Ideal an. Zeige, dass ${}V$ genau dann irreduzibel ist, wenn ${}V'$ irreduzibel ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

$V(x^{2}+y^{2}-2)\,\,{\text{ und }}\,\,V(x^{2}+2y^{2}-1)$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper ${}K\supseteq \mathbb {Z} /(7)$, über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über ${}K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ endlich viele Punkte in der affinen Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$ mit ${}F(P_{i})=a_{i}$ für alle ${}i=1,\ldots ,n$ gibt.