Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer}{}{} \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} haben, wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es seien $F_1$ und $F_2$ \definitionsverweis {topologische Filter}{}{} in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 }
{ \subseteq }{ F_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathcal O}_{F_1 } } { {\mathcal O}_{F_2 } } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} kommutative $K$-Algebra. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige  \zusatzklammer {ohne Satz 15.12 zu verwenden} {} {}, dass der \definitionsverweis {Halm}{}{} ${\mathcal O}_{ P }$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {minimales Primideal}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, das unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre, endlich erzeugte $K$-Algebra mit Quotientenkörper
\mathl{Q(R)}{.} Es sei $q \in Q(R)$. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \mid q \in {\mathcal O}_P \right\} }} { }
offen in $K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }$ ist \zusatzklammer {dabei bezeichnet ${\mathcal O}_P$ den lokalen Ring im Punkt $P$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre, \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} { R } { S } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} und ${\mathfrak n}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $S$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}( {\mathfrak n}) }
{ = }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Abbildung induziere einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabb {} { R_{\mathfrak m} } { S_{\mathfrak n} } {.} Zeige, dass es dann auch ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \not \in {\mathfrak m}} {}
{} {} {} {,} derart gibt, dass \maabb {} { R_f } { S_{\varphi (f)} } {} ein Isomorphismus ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ V(XW-YZ) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beschreibe eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass der zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap V }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gehörende \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O} ) } { \Gamma ( U \cap V, {\mathcal O} ) } {} nicht surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Ring $\Gamma (U, {\mathcal O} )$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und \maabb {f} { U } { K } {} eine Funktion. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{} mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_i }
{ = }{ f \!\mid_{ U_i } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} \definitionsverweis {algebraische Funktionen}{}{} sind. Zeige, dass dann $f$ selbst algebraisch ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und betrachte das Achsenkreuz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X,Y]/(XY) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ob der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} an $P$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ eine \definitionsverweis {gerichtete Indexmenge}{}{} und sei $G_i$,
\mathl{i \in I}{,} ein \definitionsverweis {gerichtetes System}{}{} von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der \definitionsverweis {Kolimes}{}{} eine kommutative Gruppe ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ eine \definitionsverweis {gerichtete Indexmenge}{}{} und sei $M_i$,
\mathl{i \in I}{,} ein \definitionsverweis {gerichtetes System}{}{} von Mengen. Es sei $N$ eine weitere Menge und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei eine Abbildung \maabbdisp {\psi_i} {M_i } { N } {} mit der Eigenschaft gegeben, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_i }
{ = }{ \psi_j \circ \varphi_{ij} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \preccurlyeq }{ j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {wobei $\varphi_{ij}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen} {} {.} Beweise die universelle Eigenschaft des \definitionsverweis {Kolimes}{}{,} nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung \maabbdisp {\psi} { \operatorname{colim}\,_{i \in I} M_i } { N } {} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_i }
{ = }{ \psi \circ j_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei
\mathl{j_i:M_i \rightarrow \operatorname{colim}\,_{i \in I} M_i}{} die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls $M_i$ eine gerichtetes System von Gruppen und falls $N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle $\psi_i$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch $\psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Dann ist der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ R/{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{ Q(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $R_{\mathfrak p}$ ist ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit dem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S) }
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{(Man nennt diesen Körper auch den
\definitionswortenp{Restekörper}{} zu ${\mathfrak p}$).} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $R$ eine $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{.} Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} endlich viele Punkte in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Zeige, dass der \definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{} dieser Punkte durch offene Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.

}
{D.h. es ist zu zeigen, dass es zu $P_1, \ldots, P_n \in U$ offen stets ein $F \in R$ gibt mit $P_1, \ldots, P_n \in D(F) \subseteq U$} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ eine \definitionsverweis {integre}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ von \definitionsverweis {endlichem Typ}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q }
{ \in }{ Q }
{ = }{ Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element im \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von $R$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid \text{es gibt } n \in \N \text{ mit } f^nq \in R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist. Zeige ferner, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D({\mathfrak a}) }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \zusatzklammer {maximale} {} {} Definitionsbereich der \definitionsverweis {algebraischen Funktion}{}{} $q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} sei $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} und sei $S$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} in $R$. Zu $S$ definieren wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(S) }
{ =} { { \left\{ U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \text{ offen} \mid \text{ es gibt } f \in S \text{ mit } D(f) \subseteq U \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ F(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {topologischer Filter}{}{} in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} ist. }{Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { R_S } { { \mathcal O}_F } {} gibt. }{Zeige, dass der Ringhomomorphismus aus (b) eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} ist, falls $K$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} und $R$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,} wir betrachten die affine Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$ zusammen mit der $x$-Achse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { V(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die folgende Menge ein saturiertes multiplikatives System ist.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { { \left\{ f \in K[X,Y] \mid \text{In der homogenen Komponente } f_{\deg(f)} \text{ kommt } x^{\deg(f)} \text{ vor} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Skizziere die Nullstellenmenge von einigen Polynomen, die oder die nicht zu $S$ gehören.

Es sei $F$ der zugehörige topologische Filter. Vergleiche $F$ mit dem Umgebungsfilter zu $V$ und dem generischen Filter zu $V$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} endlich viele Punkte. Es sei $F$ der \definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{} dieser Punkte und ${\mathcal O}_F$ der zugehörige \definitionsverweis {Halm}{}{.} Zeige, dass ${\mathcal O}_F$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Auf $S$ betrachten wir folgende \zusatzklammer {partielle} {} {} \definitionsverweis {Ordnung}{}{,} und zwar sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \preccurlyeq }{g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls $f$ eine Potenz von $g$ teilt \zusatzklammer {und wir identifizieren zwei Elemente, wenn diese Relation in beide Richtungen vorliegt} {} {.} Zeige, dass die kommutativen Ringe
\mathdisp {R_f, \, f \in S} { , }
ein \definitionsverweis {gerichtetes System}{}{} bilden, und dass für den \definitionsverweis {Kolimes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{colim}_{f \in S} R_f }
{ =} { R_S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_n }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente, die das \definitionsverweis {Einheitsideal}{}{} erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen $R_{f_i }$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {noethersch}{}{} sind. Zeige, dass dann auch $R$ noethersch ist.

}
{} {}