Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 16/latex

\setcounter{section}{16}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das $K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} einer \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} kommutativen $K$-Algebra. Zeige, dass ein \definitionsverweis {irreduzibler Filter}{}{} durch \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} der Form $D(f)$ erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $U$ eine \definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} in $\Gamma (U, {\mathcal O}_U )$ den \definitionsverweis {Morphismen}{}{} von $U$ nach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ K }^{ \times } } }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $U$ eine \definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {{\psi}} { U } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{.} Zeige, dass ${\psi}$ genau dann durch die abgeschlossene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a}) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} faktorisiert, wenn ${\mathfrak a}$ im \definitionsverweis {Kern}{}{} des globalen Ringhomomorphismus \maabbdisp {\tilde{\psi}} { K [ T_1, \ldots , T_{ n }] } { \Gamma (U, {\mathcal O}_U ) } {} liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{} Teilmenge. Zeige, dass der \definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{} $U(Z)$ von \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{} der Form $D(f)$ erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man beschreibe einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} derart, dass die induzierte \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} der $K$-\definitionsverweis {Spektren}{}{} die Addition auf $K$ beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in $K$ sich als Morphismen realisieren lassen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Finde eine allgemeine Definition von \stichwort {Filter} {} derart, dass einerseits die \definitionsverweis {topologischen Filter}{}{} und andererseits die \definitionsverweis {saturierten multiplikativen Systeme}{}{} sich als Spezialfälle ergeben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein endlich erzeugtes \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { R [ T_1, \ldots , T_{ n }]/( f _1 T_{1} + \cdots + f _{ n } T_{ n }+ f ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {erzwingende Algebra}{} zu den
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{.} Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} { R } { S } {} in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(f) }
{ \in }{ {\mathfrak a} S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es einen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{} \maabb {\vartheta} { A } { S } {.} Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus
\betonung{nicht}{} eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{} Elemente in $R$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { R [ T_1, \ldots , T_{ n }]/( f _1 T_{1} + \cdots + f _{ n } T_{ n }+ f ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {erzwingende Algebra}{}{} zu diesen Daten. Charakterisiere die \definitionsverweis {Fasern}{}{} des zugehörigen Morphismus \maabbdisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( A \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {integre}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{.} Es sei \maabb {\varphi} { R } { S } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphis\-mus}{}{} mit zugehörigem Morphismus \maabb {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdreiabc{ $\varphi$ ist injektiv. }{Das Bild von $\varphi^*$ ist \definitionsverweis {dicht}{}{} in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.} }{ $\varphi$ induziert einen Ringhomomorphismus \maabb {} { Q(R) } { Q(S) } {.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ zwei \definitionsverweis {integre}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{.} Es sei ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {Q(R) } { Q(S) } {} zwischen den \definitionsverweis {Quotientenkörpern}{}{} gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einen Morphismus \maabbdisp {} { U } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} gibt, der $\varphi$ induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven $C_1$ und $C_2$ über $\mathbb C$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} { C_1 } { C_2 } {,} der \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {affinen Varietäten}{}{} $V_1$ und $V_2$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} {V_1 } { V_2 } {,} der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig (in der Zariski-Topologie) ist.

}
{(und daher auch kein Morphismus)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ \Gamma (U, {\mathcal O} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q }
{ = }{ g_i/h_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{,} lokale Darstellungen von $f$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(h_i) }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {die $U$ überdecken} {} {.} Zeige, dass das Urbild $f^{-1}(0)$ gleich der abgeschlossenen Menge
\mathl{V(h_1g_1 , \ldots , h_ng_n) \cap U}{} ist.

}
{} {}